Задача №14195

Маша и Медведь съели 140 печений и банку варенья, начав и закончив одновременно. Сначала Маша ела варенье, а Медведь — печенье, но в какой-то момент они поменялись. Медведь и то и другое ест в три раза быстрее Маши. Найдите, сколько печений съел Медведь, если варенья они съели поровну.

Пусть Маша ест печенья со скоростью $p$ печений в час, варенье — $v$ банок в час. Тогда Медведь ест печенья в 3 раза быстрее: $3p\text{,}$ варенье — $3v\text{.}$ Общее время $T$ часов.

Варенья съели поровну, значит, каждый съел половину банки. Пусть Маша ела варенье $t$ часов, тогда она съела $vt$ банок, что равно половине: $vt=0.5\text{.}$ Остальное время $T-t$ Маша ела печенья и съела $p(T-t)$ печений.

Медведь сначала $t$ часов ел печенья: съел $3pt$ печений, потом $T-t$ часов ел варенье: съел $3v(T-t)$ банок, что также равно половине: $3v(T-t)=0.5\text{.}$

Из $vt=0.5$ и $3v(T-t)=0.5$ получаем:

Откуда:

Подставим в $vt=0.5\text{:}$ $v=\frac{0.5}{t}\text{.}$

Общее количество печений: печенья Маши $p(T-t)=p\cdot \left(\frac{4}{3}t-t\right)=p\cdot \frac{t}{3}\text{.}$ Печенья Медведя: $3pt\text{.}$

Сумма:

Отсюда:

Печенья Медведя: $3pt=3\times 42=126\text{.}$

Ответ: 126