Найдите трёхзначное натуральное число, большее 500 , которое при делении на 8 и на 5 даёт равные ненулевые остатки и средняя цифра которого является средним арифметическим крайних цифр. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Пусть искомое трёхзначное число равно N . По условию задачи оно представимо в виде цифр a, b, c , где N = 100a + 10b + c . 1. Рассмотрим условие на остатки. Число N при делении на 8 и на 5 даёт равные ненулевые остатки. Пусть этот остаток равен r . Так как остаток при делении на 5 должен быть меньше 5 и не равен нулю, то r in 1; 2; 3; 4 . 2. Из условия следует, что разность N - r делится одновременно на 8 и на 5 . Следовательно, N - r делится на НОК(8; 5) = 40 . Тогда число N можно представить в виде: N = 40n + r где n — целое число, а r in 1; 2; 3; 4 . 3. По условию N > 500 . Начнём перебор значений n , начиная с n = 13 (так как 40 * 12 = 480 ): - Если n = 13 , то 40 * 13 = 520 . Возможные числа: 521, 522, 523, 524 . Проверим условие на цифры (средняя цифра равна среднему арифметическому крайних): b = (a + c)/(2) . - 521: (5 + 1)/(2) = 3 != 2 - 522: (5 + 2)/(2) = 3,5 != 2 - 523: (5 + 3)/(2) = 4 != 2 - 524: (5 + 4)/(2) = 4,5 != 2 - Если n = 14 , то 40 * 14 = 560 . Числа: 561, 562, 563, 564 . Средняя цифра 6 . Суммы крайних цифр: 5 + 1 = 6 , 5 + 2 = 7 , 5 + 3 = 8 , 5 + 4 = 9 . Ни одно не даёт в среднем 6 . - Если n = 15 , то 40 * 15 = 600 . Числа: 601, 602, 603, 604 . Средняя цифра 0 . Суммы крайних цифр больше 0 . - Если n = 16 , то 40 * 16 = 640 . Возможные числа: 641, 642, 643, 644 . - Проверим число 642 : крайние цифры 6 и 2 . Их среднее арифметическое: (6 + 2)/(2) = (8)/(2) = 4 Это совпадает со средней цифрой числа. Проверка условий для числа 642 : 1. 642 > 500 (верно). 2. 642 = 80 * 8 + 2 (остаток 2 ). 3. 642 = 128 * 5 + 2 (остаток 2 ). 4. Остатки равны и не равны нулю ( 2 = 2 , верно). 5. Средняя цифра 4 , крайние 6 и 2 : 4 = (6 + 2) / 2 (верно). Ответ: 642

642