Задача №14190

Найдите трёхзначное натуральное число, большее $500\text{,}$ которое при делении на $8$ и на $5$ даёт равные ненулевые остатки и средняя цифра которого является средним арифметическим крайних цифр. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Пусть искомое трёхзначное число равно $N\text{.}$ По условию задачи оно представимо в виде цифр $a,b,c\text{,}$ где $N=100a+10b+c\text{.}$

1. Рассмотрим условие на остатки. Число $N$ при делении на $8$ и на $5$ даёт равные ненулевые остатки. Пусть этот остаток равен $r\text{.}$ Так как остаток при делении на $5$ должен быть меньше $5$ и не равен нулю, то $r\in \{1;2;3;4\}\text{.}$

2. Из условия следует, что разность $N-r$ делится одновременно на $8$ и на $5\text{.}$ Следовательно, $N-r$ делится на $\text{НОК}(8;5)=40\text{.}$ Тогда число $N$ можно представить в виде:

где $n$ — целое число, а $r\in \{1;2;3;4\}\text{.}$

3. По условию $N>500\text{.}$ Начнём перебор значений $n\text{,}$ начиная с $n=13$ (так как $40\cdot 12=480$):

• Если $n=13\text{,}$ то $40\cdot 13=520\text{.}$ Возможные числа: $521,522,523,524\text{.}$ Проверим условие на цифры (средняя цифра равна среднему арифметическому крайних): $b=\frac{a+c}{2}\text{.}$
  • 521: $\frac{5+1}{2}=3\ne 2$
  • 522: $\frac{5+2}{2}=3,5\ne 2$
  • 523: $\frac{5+3}{2}=4\ne 2$
  • 524: $\frac{5+4}{2}=4,5\ne 2$
• Если $n=14\text{,}$ то $40\cdot 14=560\text{.}$ Числа: $561,562,563,564\text{.}$ Средняя цифра $6\text{.}$ Суммы крайних цифр: $5+1=6\text{,}$ $5+2=7\text{,}$ $5+3=8\text{,}$ $5+4=9\text{.}$ Ни одно не даёт в среднем $6\text{.}$
• Если $n=15\text{,}$ то $40\cdot 15=600\text{.}$ Числа: $601,602,603,604\text{.}$ Средняя цифра $0\text{.}$ Суммы крайних цифр больше $0\text{.}$
• Если $n=16\text{,}$ то $40\cdot 16=640\text{.}$ Возможные числа: $641,642,643,644\text{.}$
  • Проверим число $642\text{:}$ крайние цифры $6$ и $2\text{.}$ Их среднее арифметическое:

Это совпадает со средней цифрой числа.

Проверка условий для числа $642\text{:}$
1. $642>500$ (верно).
2. $642=80\cdot 8+2$ (остаток $2$).
3. $642=128\cdot 5+2$ (остаток $2$).
4. Остатки равны и не равны нулю ($2=2\text{,}$ верно).
5. Средняя цифра $4\text{,}$ крайние $6$ и $2\text{:}$ $4=(6+2)/2$ (верно).

Ответ: 642