Задача №14187

Найдите четырёхзначное натуральное число, большее $1000\text{,}$ но меньшее $1300\text{,}$ которое делится на $18$ и сумма цифр которого равна $18\text{.}$ В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Пусть искомое четырёхзначное число имеет вид $\overline{abcd}\text{.}$ По условию оно больше $1000$ и меньше $1300\text{,}$ следовательно, первая цифра $a=1\text{,}$ а вторая цифра $b$ может принимать значения $0\text{,}$ $1$ или $2\text{.}$

Число делится на $18\text{,}$ если оно одновременно делится на $2$ и на $9\text{.}$

1. Число делится на $2\text{,}$ если оно чётное (последняя цифра $d\in \{0;2;4;6;8\}$).
2. Число делится на $9\text{,}$ если сумма его цифр делится на $9\text{.}$ По условию сумма цифр равна $18\text{,}$ что уже удовлетворяет этому признаку.

Запишем уравнение для суммы цифр:

Рассмотрим возможные случаи для цифры $b\text{:}$

1. Если $b=0\text{,}$ то $c+d=17\text{.}$ Это возможно, если цифры равны $8$ и $9\text{.}$ Так как число должно быть чётным, то $d=8\text{,}$ а $c=9\text{.}$ Получаем число $1098\text{.}$

2. Если $b=1\text{,}$ то $c+d=16\text{.}$ Возможные пары цифр: $(7;9)\text{,}$ $(8;8)\text{,}$ $(9;7)\text{.}$ Выбираем чётный вариант: $c=8\text{,}$ $d=8\text{.}$ Получаем число $1188\text{.}$

3. Если $b=2\text{,}$ то $c+d=15\text{.}$ Возможные пары цифр: $(6;9)\text{,}$ $(7;8)\text{,}$ $(8;7)\text{,}$ $(9;6)\text{.}$ Выбираем чётные варианты: $c=7\text{,}$ $d=8$ или $c=9\text{,}$ $d=6\text{.}$ Получаем числа $1278$ и $1296\text{.}$

Все полученные числа находятся в диапазоне от $1001$ до $1299\text{.}$

Ответ: 1098