Задача №14185

Цифры четырёхзначного числа, кратного $5\text{,}$ записали в обратном порядке и получили второе четырёхзначное число. Затем из исходного числа вычли второе и получили $2457\text{.}$ В ответе укажите какое-нибудь одно такое исходное число.

Пусть исходное четырёхзначное число равно $\overline{abcd}=1000a+100b+10c+d\text{,}$ где $a,b,c,d$ — его цифры, а $a\ne 0\text{.}$

1. Число кратно $5\text{,}$ значит, его последняя цифра $d$ равна $0$ или $5\text{.}$

2. При записи цифр в обратном порядке получили второе четырёхзначное число $\overline{dcba}\text{.}$ Поскольку оно четырёхзначное, его первая цифра $d$ не может быть равна $0\text{.}$ Следовательно, $d=5\text{.}$

3. По условию, разность исходного и обратного чисел равна $2457\text{:}$

4. Разделим обе части уравнения на $9\text{:}$

5. Заметим, что последняя цифра числа $111a$ должна совпадать с последней цифрой числа $828\text{,}$ так как слагаемое $10(b-c)$ всегда оканчивается на $0\text{.}$ Значит, $a=8\text{.}$

6. Подставим $a=8$ в уравнение:

7. Подберём подходящие цифры $b$ и $c\text{:}$

• Если $b=0\text{,}$ то $c=6\text{.}$ Число — $8065\text{.}$
• Если $b=1\text{,}$ то $c=7\text{.}$ Число — $8175\text{.}$
• Если $b=2\text{,}$ то $c=8\text{.}$ Число — $8285\text{.}$
• Если $b=3\text{,}$ то $c=9\text{.}$ Число — $8395\text{.}$

Проверим число $8065\text{:}$ оно кратно $5\text{,}$ обратное число — $5608\text{.}$ Разность: $8065-5608=2457\text{.}$ Условие выполняется.

Ответ: 8065