Задача №14183

Найдите четырёхзначное число, кратное $15\text{,}$ произведение цифр которого больше $0\text{,}$ но меньше $25\text{.}$ В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

1. Число кратно $15\text{,}$ следовательно, оно должно делиться одновременно на $3$ и на $5\text{.}$

2. Признак делимости на $5\text{:}$ число должно оканчиваться на $0$ или $5\text{.}$ По условию произведение цифр числа больше $0\text{,}$ значит, в записи числа не может быть нулей. Следовательно, последняя цифра искомого числа — $5\text{.}$

3. Пусть искомое четырёхзначное число имеет вид $\overline{abc5}\text{.}$ По условию произведение его цифр $P=a\cdot b\cdot c\cdot 5$ должно быть меньше $25\text{.}$ Разделим это неравенство на $5\text{:}$ $a\cdot b\cdot c<5\text{.}$

4. Признак делимости на $3\text{:}$ сумма цифр числа $a+b+c+5$ должна делиться на $3$ без остатка.

5. Подберём цифры $a\text{,}$ $b\text{,}$ $c\text{,}$ отличные от нуля, такие, что их произведение меньше $5\text{,}$ а сумма $a+b+c+5$ кратна $3\text{:}$
1. Если $a=1,b=1,c=1\text{,}$ то сумма цифр $1+1+1+5=8$ (не делится на $3$).
2. Если $a=1,b=1,c=2\text{,}$ то сумма цифр $1+1+2+5=9$ (делится на $3$). Произведение цифр: $1\cdot 1\cdot 2\cdot 5=10\text{,}$ что удовлетворяет условию $0<10<25\text{.}$

6. Полученное число $1125$ является четырёхзначным, кратно $15$ ($1125=15\cdot 75$) и произведение его цифр равно $10\text{.}$ Также подходят перестановки первых трёх цифр: $1215$ и $2115\text{.}$

Ответ: 1125