Задача №14175

Четырёхзначное число $A$ состоит из цифр 2, 3, 7, 8, а четырёхзначное число $B$ — из цифр 4, 5, 6, 7. Известно, что $B=2A\text{.}$ Найдите число $A\text{.}$ В ответе укажите какое-нибудь одно такое число, большее $2500\text{.}$

Пусть четырёхзначное число $A$ состоит из цифр 2, 3, 7, 8. По условию число $B=2A$ также является четырёхзначным и состоит из цифр 4, 5, 6, 7.

1. Ограничим возможные значения первой цифры числа $A\text{.}$ Так как $B$ — четырёхзначное число, то $B<10000\text{,}$ следовательно, $2A<10000$ и $A<5000\text{.}$ Из набора цифр $\{2;3;7;8\}$ первой цифрой $A$ могут быть только 2 или 3.

2. По условию $A>2500\text{.}$

• Если первая цифра 2, то вторая цифра должна быть 7 или 8.
• Если первая цифра 3, то вторая цифра может быть любой из оставшихся (2, 7, 8).

3. Рассмотрим случаи, когда первой цифрой является 2:

• Пусть $A=2738\text{.}$ Тогда:

Цифры числа $B$ — $\{4;5;6;7\}\text{.}$ Это соответствует условию задачи.

• Пусть $A=2783\text{.}$ Тогда:

Цифры не подходят.

• Пусть $A=2837\text{.}$ Тогда:

Цифры числа $B$ — $\{4;5;6;7\}\text{.}$ Это также соответствует условию.

• Пусть $A=2873\text{.}$ Тогда:

Цифры числа $B$ — $\{4;5;6;7\}\text{.}$ Это также соответствует условию.

4. Проверим случай $A=2738\text{:}$

• Состоит из цифр 2, 3, 7, 8: да.
• $A>2500\text{:}$ да ($2738>2500$).
• $B=2A=5476$ состоит из цифр 4, 5, 6, 7: да.

В качестве ответа можно указать любое из найденных чисел: $2738\text{,}$ $2837\text{,}$ $2873\text{,}$ $3287$ и другие.

Ответ: 2738