Задача №14174

Найдите четырёхзначное число, кратное $66\text{,}$ все цифры которого различны и чётны. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Пусть искомое четырёхзначное число имеет вид $\overline{abcd}\text{.}$

Согласно условию:
1. Число кратно $66\text{.}$ Это означает, что оно одновременно делится на $2\text{,}$ $3$ и $11\text{.}$
2. Все цифры числа чётны и различны. Набор чётных цифр: $\{0;2;4;6;8\}\text{.}$

Разберём признаки делимости:

— Делимость на $2\text{:}$ последняя цифра должна быть чётной. Так как по условию все цифры чётны, это условие выполняется автоматически для любого числа, составленного из этих цифр.

— Делимость на $3\text{:}$ сумма цифр $a+b+c+d$ должна делиться на $3\text{.}$ Поскольку все цифры чётны, их сумма также будет чётной. Следовательно, сумма цифр должна быть кратна $6\text{.}$

Рассмотрим возможные наборы из четырёх различных чётных цифр:
1. $\{0;2;4;6\}\text{:}$ сумма равна $12$ (делится на $6$) — подходит.
2. $\{0;2;4;8\}\text{:}$ сумма равна $14$ (не подходит).
3. $\{0;2;6;8\}\text{:}$ сумма равна $16$ (не подходит).
4. $\{0;4;6;8\}\text{:}$ сумма равна $18$ (делится на $6$) — подходит.
5. $\{2;4;6;8\}\text{:}$ сумма равна $20$ (не подходит).

— Делимость на $11\text{:}$ разность между суммой цифр, стоящих на нечётных местах, и суммой цифр, стоящих на чётных местах, должна делиться на $11\text{.}$ То есть $(a+c)-(b+d)$ кратно $11\text{.}$ Поскольку все цифры чётны, эта разность — чётное число. Единственное чётное число, кратное $11$ в данном диапазоне, — это $0\text{.}$

Следовательно:

Проверим подходящие наборы цифр:

1. Набор $\{0;2;4;6\}\text{.}$ Сумма всех цифр $12\text{,}$ значит, $a+c=b+d=6\text{.}$
Пары цифр с суммой $6\text{:}$ $(0;6)$ и $(2;4)\text{.}$
Если $\{a;c\}=\{2;4\}$ и $\{b;d\}=\{0;6\}\text{,}$ возможные числа: $2046\text{,}$ $2640\text{,}$ $4026\text{,}$ $4620\text{.}$
Если $\{a;c\}=\{0;6\}$ и $\{b;d\}=\{2;4\}\text{,}$ учитывая, что $a\ne 0\text{,}$ возможные числа: $6204\text{,}$ $6402\text{.}$

2. Набор $\{0;4;6;8\}\text{.}$ Сумма всех цифр $18\text{,}$ значит, $a+c=b+d=9\text{.}$
Сумма двух чётных чисел не может быть нечётной. В этом наборе решений нет.

Выберем любое из найденных чисел, например, $2640\text{.}$

Проверка:
— Все цифры чётны и различны: $2,6,4,0\text{.}$
— $2640:66=40\text{.}$

Ответ: 2640 (возможны также варианты 2046, 4026, 4620, 6204, 6402).