Найдите четырёхзначное число, кратное 66 , все цифры которого различны и чётны. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Пусть искомое четырёхзначное число имеет вид abcd . Согласно условию: 1. Число кратно 66 . Это означает, что оно одновременно делится на 2 , 3 и 11 . 2. Все цифры числа чётны и различны. Набор чётных цифр: 0; 2; 4; 6; 8 . Разберём признаки делимости: — Делимость на 2 : последняя цифра должна быть чётной. Так как по условию все цифры чётны, это условие выполняется автоматически для любого числа, составленного из этих цифр. — Делимость на 3 : сумма цифр a + b + c + d должна делиться на 3 . Поскольку все цифры чётны, их сумма также будет чётной. Следовательно, сумма цифр должна быть кратна 6 . Рассмотрим возможные наборы из четырёх различных чётных цифр: 1. 0; 2; 4; 6 : сумма равна 12 (делится на 6 ) — подходит. 2. 0; 2; 4; 8 : сумма равна 14 (не подходит). 3. 0; 2; 6; 8 : сумма равна 16 (не подходит). 4. 0; 4; 6; 8 : сумма равна 18 (делится на 6 ) — подходит. 5. 2; 4; 6; 8 : сумма равна 20 (не подходит). — Делимость на 11 : разность между суммой цифр, стоящих на нечётных местах, и суммой цифр, стоящих на чётных местах, должна делиться на 11 . То есть (a + c) - (b + d) кратно 11 . Поскольку все цифры чётны, эта разность — чётное число. Единственное чётное число, кратное 11 в данном диапазоне, — это 0 . Следовательно: a + c = b + d Проверим подходящие наборы цифр: 1. Набор 0; 2; 4; 6 . Сумма всех цифр 12 , значит, a + c = b + d = 6 . Пары цифр с суммой 6 : (0; 6) и (2; 4) . Если a; c = 2; 4 и b; d = 0; 6 , возможные числа: 2046 , 2640 , 4026 , 4620 . Если a; c = 0; 6 и b; d = 2; 4 , учитывая, что a != 0 , возможные числа: 6204 , 6402 . 2. Набор 0; 4; 6; 8 . Сумма всех цифр 18 , значит, a + c = b + d = 9 . Сумма двух чётных чисел не может быть нечётной. В этом наборе решений нет. Выберем любое из найденных чисел, например, 2640 . Проверка: — Все цифры чётны и различны: 2, 6, 4, 0 . — 2640 : 66 = 40 . Ответ: 2640 (возможны также варианты 2046, 4026, 4620, 6204, 6402).

2640