Задача №14170

Список заданий викторины состоял из 25 вопросов. За каждый правильный ответ ученик получал 5 очков, за неправильный ответ с него списывали 7 очков, а при отсутствии ответа давали 0 очков. Сколько верных ответов дал ученик, набравший 60 очков, если известно, что по крайней мере один раз он ошибся?

Пусть $x$ — количество правильных ответов, $y$ — количество неправильных, $z$ — количество без ответа.

Из условия:
$x+y+z=25$
$5x-7y+0z=60$
$y⩾1$ (хотя бы одна ошибка).

Выразим $z=25-x-y\text{.}$ Подставим во второе:
$5x-7y=60$
$5x=60+7y$
$x=\frac{60+7y}{5}=12+\frac{7y}{5}$

Так как $x$ целое, $7y$ должно делиться на 5, значит, $y$ кратно 5.

При $y=5\text{:}$ $x=12+7=19\text{,}$ тогда $z=25-19-5=1$ (неотрицательно).

При $y=10\text{:}$ $x=12+14=26\text{,}$ но тогда $x+y=36>25\text{,}$ невозможно.

При $y=0$ не подходит, так как $y⩾1\text{.}$

Ответ: 19