Найдите трёхзначное число, кратное 11 , все цифры которого различны, а сумма квадратов цифр делится на 4 , но не делится на 16 . В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Пусть искомое трёхзначное число имеет вид abc , где a , b , c — его цифры. По условию: 1. Число трёхзначное: a in 1; 2; ; 9 , b, c in 0; 1; ; 9 . 2. Все цифры различны: a != b , b != c , a != c . 3. Число кратно 11 : по признаку делимости на 11 , чередующаяся сумма цифр a - b + c должна делиться на 11 . 4. Сумма квадратов цифр S = a^2 + b^2 + c^2 делится на 4 . 5. Сумма квадратов цифр S не делится на 16 . Рассмотрим условие делимости суммы квадратов на 4 . Квадрат любого чётного числа при делении на 4 даёт остаток 0 , а квадрат нечётного числа — остаток 1 . Чтобы сумма трёх квадратов делилась на 4 , возможен только один вариант: все три числа a, b, c должны быть чётными. Если хотя бы одно или два числа будут нечётными, сумма остатков будет равна 1 , 2 или 3 , что не делится на 4 . Таким образом, цифры a, b, c принадлежат множеству 0; 2; 4; 6; 8 . Так как все цифры чётные, разность a - b + c также будет чётной. Единственное чётное число в диапазоне возможных значений разности цифр, которое делится на 11 , — это 0 . Следовательно: a - b + c = 0 => b = a + c Подберём подходящие чётные цифры, чтобы b = a + c и все они были различны: - если a = 2, c = 4 , то b = 6 . Число — 264 ; - если a = 2, c = 6 , то b = 8 . Число — 286 ; - если a = 4, c = 2 , то b = 6 . Число — 462 ; - если a = 6, c = 2 , то b = 8 . Число — 682 . (Варианты с нулём, например a = 4, c = 0, b = 4 , не подходят, так как цифры должны быть различны). Проверим условие на делимость суммы квадратов на 16 для числа 264 : S = 2^2 + 6^2 + 4^2 = 4 + 36 + 16 = 56 Число 56 делится на 4 ( 56 = 4 * 14 ), но не делится на 16 ( 16 * 3 = 48 , 16 * 4 = 64 ). Условия выполнены. Проверим для числа 286 : S = 2^2 + 8^2 + 6^2 = 4 + 64 + 36 = 104 Число 104 делится на 4 ( 104 = 4 * 26 ), но не делится на 16 ( 104 / 16 = 6,5 ). Условия выполнены. В качестве ответа можно указать любое из найденных чисел: 264 , 286 , 462 , 682 . Ответ: 264

264