Задача №14168

Найдите трёхзначное число, кратное $11\text{,}$ все цифры которого различны, а сумма квадратов цифр делится на $4\text{,}$ но не делится на $16\text{.}$ В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Пусть искомое трёхзначное число имеет вид $\overline{abc}\text{,}$ где $a\text{,}$ $b\text{,}$ $c$ — его цифры. По условию:

1. Число трёхзначное: $a\in \{1;2;\dots ;9\}\text{,}$ $b,c\in \{0;1;\dots ;9\}\text{.}$
2. Все цифры различны: $a\ne b\text{,}$ $b\ne c\text{,}$ $a\ne c\text{.}$
3. Число кратно $11\text{:}$ по признаку делимости на $11\text{,}$ чередующаяся сумма цифр $a-b+c$ должна делиться на $11\text{.}$
4. Сумма квадратов цифр $S=a^2+b^2+c^2$ делится на $4\text{.}$
5. Сумма квадратов цифр $S$ не делится на $16\text{.}$

Рассмотрим условие делимости суммы квадратов на $4\text{.}$ Квадрат любого чётного числа при делении на $4$ даёт остаток $0\text{,}$ а квадрат нечётного числа — остаток $1\text{.}$ Чтобы сумма трёх квадратов делилась на $4\text{,}$ возможен только один вариант: все три числа $a,b,c$ должны быть чётными. Если хотя бы одно или два числа будут нечётными, сумма остатков будет равна $1\text{,}$ $2$ или $3\text{,}$ что не делится на $4\text{.}$

Таким образом, цифры $a,b,c$ принадлежат множеству $\{0;2;4;6;8\}\text{.}$ Так как все цифры чётные, разность $a-b+c$ также будет чётной. Единственное чётное число в диапазоне возможных значений разности цифр, которое делится на $11\text{,}$ — это $0\text{.}$ Следовательно:

Подберём подходящие чётные цифры, чтобы $b=a+c$ и все они были различны:

• если $a=2,c=4\text{,}$ то $b=6\text{.}$ Число — $264\text{;}$
• если $a=2,c=6\text{,}$ то $b=8\text{.}$ Число — $286\text{;}$
• если $a=4,c=2\text{,}$ то $b=6\text{.}$ Число — $462\text{;}$
• если $a=6,c=2\text{,}$ то $b=8\text{.}$ Число — $682\text{.}$

(Варианты с нулём, например $a=4,c=0,b=4\text{,}$ не подходят, так как цифры должны быть различны).

Проверим условие на делимость суммы квадратов на $16$ для числа $264\text{:}$

Число $56$ делится на $4$ ($56=4\cdot 14$), но не делится на $16$ ($16\cdot 3=48\text{,}$ $16\cdot 4=64$). Условия выполнены.

Проверим для числа $286\text{:}$

Число $104$ делится на $4$ ($104=4\cdot 26$), но не делится на $16$ ($104/16=6,5$). Условия выполнены.

В качестве ответа можно указать любое из найденных чисел: $264\text{,}$ $286\text{,}$ $462\text{,}$ $682\text{.}$

Ответ: 264