Задача №14167

В таблице три столбца и несколько строк. В каждую клетку таблицы вписали по натуральному числу так, что сумма всех чисел в первом столбце равна 49, во втором — 97, в третьем — 146, а сумма чисел в каждой строке больше 18, но меньше 21. Сколько всего строк в таблице?

Пусть $n$ строк.

Сумма всех чисел равна сумме по столбцам: $49+97+146=292\text{.}$

Сумма в каждой строке больше 18 и меньше 21, т.е. равна 19 или 20.

Тогда $292=19a+20b\text{,}$ где $a$ и $b$ — количества строк с суммой 19 и 20 соответственно, $a+b=n\text{.}$

Перепишем: $292=19(a+b)+b=19n+b\text{.}$

Отсюда $b=292-19n\text{.}$

Так как $b⩾0\text{,}$ $n⩽15\text{.}$

Также $a=n-b=20n-292⩾0\text{,}$ откуда $n⩾14.6\text{,}$ т.е. $n⩾15\text{.}$

Значит, $n=15\text{.}$

Тогда $b=292-19\cdot 15=7\text{,}$ $a=8\text{.}$

Проверка: $8\cdot 19+7\cdot 20=152+140=292\text{.}$

Ответ: 15.