Найдите трёхзначное число, кратное 25, все цифры которого различны, а сумма квадратов цифр делится на 3, но не делится на 9. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Пусть искомое трёхзначное число имеет вид abc , где a , b , c — его цифры. 1. Число кратно 25, следовательно, оно должно оканчиваться на 00, 25, 50 или 75. 2. Согласно условию, все цифры числа различны. Вариант с окончанием 00 отпадает, так как в нём цифры повторяются ( b = c = 0 ). 3. Рассмотрим оставшиеся возможные окончания: — Окончание 25 ( b = 2; c = 5 ): Число имеет вид a25 . Так как цифры различны, a != 2 и a != 5 . Сумма квадратов цифр равна: S = a^2 + 2^2 + 5^2 = a^2 + 4 + 25 = a^2 + 29 Нам нужно, чтобы S делилось на 3, но не на 9. Проверим a = 1 : S = 1^2 + 29 = 30 . Число 30 делится на 3 ( 30 = 3 * 10 ), но не делится на 9. Условие выполнено. Число 125 подходит. — Окончание 50 ( b = 5; c = 0 ): Число имеет вид a50 . Сумма квадратов цифр: S = a^2 + 5^2 + 0^2 = a^2 + 25 При любых допустимых a (от 1 до 9, кроме 5) сумма a^2 + 25 не будет делиться на 3, так как остаток от деления квадрата любого целого числа на 3 равен 0 или 1, а число 25 дает остаток 1. Следовательно, S даст остаток 1 или 2. — Окончание 75 ( b = 7; c = 5 ): Число имеет вид a75 . Сумма квадратов цифр: S = a^2 + 7^2 + 5^2 = a^2 + 49 + 25 = a^2 + 74 Проверим a = 1 : S = 1^2 + 74 = 75 . Число 75 делится на 3 ( 75 = 3 * 25 ), но не делится на 9. Число 175 подходит. Проверим a = 2 : S = 2^2 + 74 = 78 . Число 78 делится на 3 ( 78 = 3 * 26 ), но не делится на 9. Число 275 подходит. Ответ: 125

125