Задача №14166

Найдите трёхзначное число, кратное 25, все цифры которого различны, а сумма квадратов цифр делится на 3, но не делится на 9. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Пусть искомое трёхзначное число имеет вид $\overline{abc}\text{,}$ где $a\text{,}$ $b\text{,}$ $c$ — его цифры.

1. Число кратно 25, следовательно, оно должно оканчиваться на 00, 25, 50 или 75.

2. Согласно условию, все цифры числа различны. Вариант с окончанием 00 отпадает, так как в нём цифры повторяются ($b=c=0$).

3. Рассмотрим оставшиеся возможные окончания:

— Окончание 25 ($b=2;c=5$):

Число имеет вид $\overline{a25}\text{.}$ Так как цифры различны, $a\ne 2$ и $a\ne 5\text{.}$ Сумма квадратов цифр равна:

Нам нужно, чтобы $S$ делилось на 3, но не на 9.

Проверим $a=1\text{:}$ $S=1^2+29=30\text{.}$ Число 30 делится на 3 ($30=3\cdot 10$), но не делится на 9. Условие выполнено. Число 125 подходит.

— Окончание 50 ($b=5;c=0$):

Число имеет вид $\overline{a50}\text{.}$ Сумма квадратов цифр:

При любых допустимых $a$ (от 1 до 9, кроме 5) сумма $a^2+25$ не будет делиться на 3, так как остаток от деления квадрата любого целого числа на 3 равен 0 или 1, а число 25 дает остаток 1. Следовательно, $S$ даст остаток 1 или 2.

— Окончание 75 ($b=7;c=5$):

Число имеет вид $\overline{a75}\text{.}$ Сумма квадратов цифр:

Проверим $a=1\text{:}$ $S=1^2+74=75\text{.}$ Число 75 делится на 3 ($75=3\cdot 25$), но не делится на 9. Число 175 подходит.

Проверим $a=2\text{:}$ $S=2^2+74=78\text{.}$ Число 78 делится на 3 ($78=3\cdot 26$), но не делится на 9. Число 275 подходит.

Ответ: 125