Задача №14165

Цифры четырёхзначного числа, кратного $5\text{,}$ записали в обратном порядке и получили второе четырёхзначное число. Затем из исходного числа вычли второе и получили $3456\text{.}$ В ответе укажите какое-нибудь одно такое исходное число.

Пусть искомое четырёхзначное число имеет вид $\overline{abcd}=1000a+100b+10c+d\text{,}$ где $a,b,c,d$ — его цифры, причём $a\ne 0\text{.}$

1. По условию число кратно $5\text{,}$ значит, его последняя цифра $d$ может быть равна $0$ или $5\text{.}$ Второе число, полученное при записи цифр в обратном порядке, — $\overline{dcba}=1000d+100c+10b+a\text{.}$ Так как второе число также четырёхзначное, его первая цифра $d$ не может быть равна $0\text{.}$ Таким образом, $d=5\text{.}$

2. Составим уравнение согласно условию задачи (разность исходного и второго чисел равна $3456$):

3. Упростим уравнение:

Разделим обе части уравнения на $9\text{:}$

4. Проанализируем полученное уравнение. Слагаемое $10(b-c)$ всегда оканчивается на цифру $0\text{.}$ Значит, последняя цифра числа $111a$ должна совпадать с последней цифрой результата ($939$), то есть быть равной $9\text{.}$ Это возможно только при $a=9\text{.}$

5. Подставим $a=9$ в уравнение:

6. Так как $b$ и $c$ — цифры, подберём возможные значения:

• если $b=0\text{,}$ то $c=6\text{.}$ Число — $9065\text{;}$
• если $b=1\text{,}$ то $c=7\text{.}$ Число — $9175\text{;}$
• если $b=2\text{,}$ то $c=8\text{.}$ Число — $9285\text{;}$
• если $b=3\text{,}$ то $c=9\text{.}$ Число — $9395\text{.}$

Проверим число $9065\text{:}$

Условие выполняется.

Ответ: 9065.