Задача №14164

Найдите трёхзначное число $A\text{,}$ обладающее двумя свойствами:

• сумма цифр числа $A$ делится на 10;
• сумма цифр числа $A+8$ делится на 10.

В ответе запишите какое-нибудь одно такое число.

Пусть $A=\overline{abc}$ — искомое трёхзначное число, где $a\text{,}$ $b\text{,}$ $c$ — его цифры. По условию сумма его цифр $S(A)=a+b+c$ должна делиться на 10. Рассмотрим, как меняется сумма цифр при прибавлении к числу $A$ числа 8.

1. Если при сложении единиц не происходит переноса в разряд десятков (то есть $c+8<10$), то сумма цифр увеличится на 8:

$$S(A+8)=S(A)+8.$$

Если $S(A)$ кратно 10, то $S(A)+8$ не может быть кратно 10.

2. Если происходит перенос только в разряд десятков ($c+8⩾10\text{,}$ но $b+1<10$), то цифра единиц уменьшается на 2 (становится $c-2$), а цифра десятков увеличивается на 1. Тогда:

$$S(A+8)=a+(b+1)+(c-2)=a+b+c-1=S(A)-1.$$

Эта сумма также не будет делиться на 10, если $S(A)$ делится на 10.

3. Чтобы сумма цифр снова стала кратной 10, необходим перенос и в разряд десятков, и в разряд сотен. Это возможно, если $c⩾2$ и $b=9\text{.}$ При этом цифра сотен $a$ должна быть меньше 9 (чтобы не возникло четвёртого разряда). В этом случае цифра единиц становится $c-2\text{,}$ цифра десятков становится 0, а цифра сотен увеличивается на 1:

$$S(A+8)=(a+1)+0+(c-2)=a+c-1.$$

Заметим, что разность сумм:

$$S(A)-S(A+8)=(a+9+c)-(a+c-1)=10.$$

Следовательно, если $S(A)$ делится на 10, то и $S(A+8)$ будет делиться на 10. Нам достаточно найти цифры $a$ и $c\text{,}$ такие что $a+c+9$ делится на 10. Ближайшее значение — 20, тогда $a+c=11\text{.}$

Примером может служить пара $a=2\text{,}$ $c=9\text{.}$ Тогда число $A=299\text{.}$

Проверка:
1. $S(299)=2+9+9=20$ (делится на 10).
2. $299+8=307\text{,}$ $S(307)=3+0+7=10$ (делится на 10).

Ответ: 299