Задача №14163

На кольцевой дороге расположены четыре бензоколонки: $А\text{,}$ $Б\text{,}$ $В$ и $Г\text{.}$ Расстояние между $А$ и $Б$ — $60$ км, между $А$ и $В$ — $45$ км, между $В$ и $Г$ — $40$ км, между $Г$ и $А$ — $35$ км (все расстояния измеряются вдоль кольцевой дороги по кратчайшей дуге).

Найдите расстояние (в километрах) между $Б$ и $В\text{.}$

Пусть $L$ — общая длина кольцевой дороги. Расстояние между любыми двумя точками по кратчайшей дуге не может превышать $\frac{L}{2}\text{.}$ Так как расстояние между $А$ и $Б$ равно $60$ км, то $60⩽\frac{L}{2}\text{,}$ следовательно, $L⩾120$ км.

Пусть точка $А$ находится на отметке $0$ км. Тогда точка $Б$ находится на отметке $60$ км (поскольку $L⩾120\text{,}$ это положение определено однозначно относительно $А$).

Точка $В$ находится на расстоянии $45$ км от $А\text{,}$ значит, её координата либо $45$ км, либо $L-45$ км.
Точка $Г$ находится на расстоянии $35$ км от $А\text{,}$ значит, её координата либо $35$ км, либо $L-35$ км.

Рассмотрим расстояние между $В$ и $Г\text{,}$ которое по условию равно $40$ км:

1. Если $В$ и $Г$ лежат по одну сторону от $А$ (например, координаты $45$ и $35$), то расстояние между ними равно $|45-35|=10$ км. Это противоречит условию.
2. Если $В$ и $Г$ лежат по разные стороны от $А$ (например, координаты $45$ и $L-35$), то расстояние между ними — это минимум из $45+35=80$ км и $L-80$ км.

Так как кратчайшее расстояние равно $40$ км, получаем уравнение:

$$\min (80;L-80)=40$$

Так как $80\ne 40\text{,}$ должно выполняться $L-80=40\text{,}$ откуда $L=120$ км.

Теперь, когда длина дороги известна ($120$ км), определим расстояние между $Б$ ($60$ км) и $В$ ($45$ км или $120-45=75$ км):

$$|60-45|=15\text{ км}$$ $$|60-75|=15\text{ км}$$

В обоих случаях кратчайшее расстояние между $Б$ и $В$ составляет $15$ км.

Ответ: 15