Задача №14162

Список заданий викторины состоял из 50 вопросов. За каждый правильный ответ ученик получал 9 очков, за неправильный ответ с него списывали 17 очков, а при отсутствии ответа давали 0 очков. Сколько верных ответов дал ученик, набравший 153 очков, если известно, что по крайней мере один раз он ошибся?

Пусть $x$ — количество правильных ответов, $y$ — количество неправильных ответов, $z$ — количество вопросов без ответа.

Всего вопросов 50:
$x+y+z=50\text{.}$

Ученик набрал 153 очка:
$9x-17y+0z=153\text{.}$

Известно, что $y⩾1\text{.}$

Выразим $z=50-x-y$ и подставим во второе уравнение:
$9x-17y=153\text{.}$

Преобразуем:

Чтобы $x$ было целым, $\frac{17y}{9}$ должно быть целым, т.е. $17y$ должно делиться на 9. Так как 17 и 9 взаимно просты, то $y$ должно делиться на 9.

Рассмотрим возможные значения $y\text{:}$

1. При $y=9\text{:}$ $x=17+\frac{17\cdot 9}{9}=17+17=34\text{,}$ тогда $z=50-34-9=7$ (неотрицательно).

2. При $y=18\text{:}$ $x=17+34=51\text{,}$ но тогда $x>50\text{,}$ что невозможно.

3. При $y=0$ не подходит, так как известно, что ученик ошибся хотя бы раз.

Значит, единственный возможный случай: $y=9\text{,}$ $x=34\text{.}$

Ответ: 34