Задача №14161

Найдите трёхзначное натуральное число, которое при делении и на $4\text{,}$ и на $5\text{,}$ и на $6$ даёт в остатке $1\text{,}$ а цифры в записи которого расположены в порядке убывания слева направо. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Пусть искомое число равно $N\text{.}$ По условию при делении на $4\text{,}$ $5$ и $6$ число $N$ даёт в остатке $1\text{.}$ Это означает, что число $N-1$ делится нацело на $4\text{,}$ $5$ и $6$ одновременно.

Следовательно, число $N-1$ должно быть кратным наименьшему общему кратному (НОК) чисел $4\text{,}$ $5$ и $6\text{.}$ Найдем $\text{НОК}(4;5;6)\text{:}$

Таким образом, искомое число имеет вид:

где $k$ — натуральное число. Поскольку число трёхзначное, переберём значения $k\text{,}$ начиная с таких, при которых $N⩾100\text{:}$

1. При $k=2\text{:}$ $N=60\cdot 2+1=121\text{.}$ Цифры $1,2,1$ не расположены в порядке убывания.
2. При $k=3\text{:}$ $N=60\cdot 3+1=181\text{.}$ Цифры $1,8,1$ не расположены в порядке убывания.
3. При $k=4\text{:}$ $N=60\cdot 4+1=241\text{.}$ Цифры $2,4,1$ не расположены в порядке убывания.
4. При $k=5\text{:}$ $N=60\cdot 5+1=301\text{.}$ Цифры $3,0,1$ не расположены в порядке убывания.
5. При $k=6\text{:}$ $N=60\cdot 6+1=361\text{.}$ Цифры $3,6,1$ не расположены в порядке убывания.
6. При $k=7\text{:}$ $N=60\cdot 7+1=421\text{.}$ Цифры числа: $4,2,1\text{.}$ Проверим порядок: $4>2>1\text{.}$ Условие выполняется.

Подходящими также являются числа $541$ (при $k=9$), $721$ (при $k=12$), $841$ (при $k=14$) и $961$ (при $k=16$).

Ответ: 421