Задача №14158

Найдите четырёхзначное число, которое в 3 раза меньше куба некоторого натурального числа. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Пусть искомое четырёхзначное число равно $x\text{.}$ По условию оно в 3 раза меньше куба некоторого натурального числа $n\text{:}$

Поскольку произведение $3x$ является полным кубом и делится на 3, число $n$ также должно быть кратно 3. Пусть $n=3k\text{,}$ где $k$ — натуральное число. Тогда выражение для $x$ принимает вид:

Так как $x$ — четырёхзначное число, должно выполняться условие:

Найдём возможные значения $k\text{:}$

1. Если $k=5\text{,}$ то $k^3=125$ и $x=9\cdot 125=1125\text{.}$
2. Если $k=6\text{,}$ то $k^3=216$ и $x=9\cdot 216=1944\text{.}$
3. Если $k=7\text{,}$ то $k^3=343$ и $x=9\cdot 343=3087\text{.}$
4. Если $k=8\text{,}$ то $k^3=512$ и $x=9\cdot 512=4608\text{.}$
5. Если $k=9\text{,}$ то $k^3=729$ и $x=9\cdot 729=6561\text{.}$
6. Если $k=10\text{,}$ то $k^3=1000$ и $x=9\cdot 1000=9000\text{.}$

Для ответа можно выбрать любое из этих чисел.

Ответ: 1125