Задача №14157

Найдите четырёхзначное число, большее $6000\text{,}$ но меньшее $7000\text{,}$ которое делится на $12$ и каждая следующая цифра которого меньше предыдущей. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Обозначим искомое число как $\overline{abcd}\text{.}$

1. По условию число больше $6000$ и меньше $7000\text{,}$ значит, первая цифра $a=6\text{.}$

2. Каждая следующая цифра меньше предыдущей, следовательно: $6>b>c>d\text{.}$

3. Число должно делиться на $12\text{,}$ что означает одновременную делимость на $3$ и на $4\text{.}$

• Признак делимости на $4\text{:}$ число, образованное последними двумя цифрами ($\overline{cd}$), должно делиться на $4\text{.}$
• Признак делимости на $3\text{:}$ сумма цифр числа ($6+b+c+d$) должна делиться на $3\text{.}$

4. Рассмотрим возможные пары цифр $(c;d)\text{,}$ такие что $c>d$ и число $\overline{cd}$ делится на $4\text{.}$ Учитывая, что $c<b<6\text{,}$ максимальное значение $c$ равно $4\text{.}$

• Если $d=0\text{,}$ то $c$ может быть $2$ или $4$ (так как $20$ и $40$ делятся на $4$).
• Если $d=1\text{,}$ то подходящих цифр $c$ не существует (так как $c>d\text{,}$ а числа $21,31,41,51$ не делятся на $4$).
• Если $d=2\text{,}$ то $c$ может быть $3$ или $5$ (так как $32$ и $52$ делятся на $4$).

5. Проверим варианты с учетом суммы цифр и условия $6>b>c\text{:}$

• Пусть $c=4,d=0\text{.}$ Тогда $b$ должно быть больше $4$ и меньше $6\text{,}$ то есть $b=5\text{.}$ Проверим сумму цифр: $6+5+4+0=15\text{.}$ Сумма делится на $3\text{.}$ Значит, число $6540$ подходит.
• Пусть $c=3,d=2\text{.}$ Тогда $b$ может быть $4$ или $5\text{.}$ Если $b=4\text{,}$ сумма цифр: $6+4+3+2=15$ (делится на $3$). Число $6432$ подходит. Если $b=5\text{,}$ сумма цифр: $6+5+3+2=16$ (не делится на $3$).
• Пусть $c=2,d=0\text{.}$ Тогда $b$ может быть $3,4$ или $5\text{.}$ Если $b=4\text{,}$ сумма: $6+4+2+0=12$ (делится на $3$). Число $6420$ подходит.

Таким образом, возможные ответы: $6540\text{,}$ $6432\text{,}$ $6420\text{.}$

Ответ: 6540