Задача №14154

Найдите трёхзначное число, кратное $25\text{,}$ все цифры которого различны, а сумма квадратов цифр делится на $5\text{,}$ но не делится на $25\text{.}$ В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Пусть искомое трёхзначное число имеет вид $\overline{abc}\text{,}$ где $a,b,c$ — его цифры. По условию все цифры различны, значит, $a\ne b\text{,}$ $b\ne c$ и $a\ne c\text{.}$ Также первая цифра $a\ne 0\text{.}$

1. Число кратно $25\text{.}$ По признаку делимости на $25$ число должно оканчиваться на $00\text{,}$ $25\text{,}$ $50$ или $75\text{.}$

• Если число оканчивается на $00$ ($b=0\text{,}$ $c=0$), цифры не различны. Этот случай не подходит.
• Если число оканчивается на $25$ ($b=2\text{,}$ $c=5$), то цифра $a$ может быть любой от $1$ до $9\text{,}$ кроме $2$ и $5\text{.}$
• Если число оканчивается на $50$ ($b=5\text{,}$ $c=0$), то цифра $a$ может быть любой от $1$ до $9\text{,}$ кроме $5\text{.}$
• Если число оканчивается на $75$ ($b=7\text{,}$ $c=5$), то цифра $a$ может быть любой от $1$ до $9\text{,}$ кроме $7$ и $5\text{.}$

2. Сумма квадратов цифр $S=a^2+b^2+c^2$ должна делиться на $5\text{,}$ но не делиться на $25\text{.}$

Рассмотрим возможные случаи:

Случай 1: число оканчивается на $25\text{.}$
Сумма квадратов цифр:

• Если $a=1\text{,}$ то $S=1^2+29=30\text{.}$ Число $30$ делится на $5$ и не делится на $25\text{.}$ Цифры $\{1;2;5\}$ различны. Число $125$ подходит.
• Если $a=4\text{,}$ то $S=16+29=45\text{.}$ Число $45$ делится на $5$ и не делится на $25\text{.}$ Цифры $\{4;2;5\}$ различны. Число $425$ подходит.
• Если $a=6\text{,}$ то $S=36+29=65\text{.}$ Число $65$ делится на $5$ и не делится на $25\text{.}$ Цифры $\{6;2;5\}$ различны. Число $625$ подходит.
• Если $a=9\text{,}$ то $S=81+29=110\text{.}$ Число $110$ делится на $5$ и не делится на $25\text{.}$ Цифры $\{9;2;5\}$ различны. Число $925$ подходит.

Случай 2: число оканчивается на $50\text{.}$
Сумма квадратов цифр:

Чтобы $S$ делилось на $5\text{,}$ цифра $a^2$ должна делиться на $5\text{,}$ что возможно только при $a=5\text{.}$ Но по условию цифры должны быть различны, а цифра $5$ уже использована во втором разряде. Случай не подходит.

Случай 3: число оканчивается на $75\text{.}$
Сумма квадратов цифр:

• Если $a=1\text{,}$ то $S=1+74=75\text{.}$ Число делится на $25\text{.}$ Не подходит.
• Если $a=4\text{,}$ то $S=16+74=90\text{.}$ Делится на $5\text{,}$ не делится на $25\text{.}$ Число $475$ подходит.
• Если $a=6\text{,}$ то $S=36+74=110\text{.}$ Делится на $5\text{,}$ не делится на $25\text{.}$ Число $675$ подходит.
• Если $a=9\text{,}$ то $S=81+74=155\text{.}$ Делится на $5\text{,}$ не делится на $25\text{.}$ Число $975$ подходит.

В качестве ответа можно указать любое из найденных чисел: $125\text{,}$ $425\text{,}$ $625\text{,}$ $925\text{,}$ $475\text{,}$ $675\text{,}$ $975\text{.}$

Ответ: 125