Найдите трёхзначное число, кратное 25 , все цифры которого различны, а сумма квадратов цифр делится на 5 , но не делится на 25 . В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Пусть искомое трёхзначное число имеет вид abc , где a, b, c — его цифры. По условию все цифры различны, значит, a != b , b != c и a != c . Также первая цифра a != 0 . 1. Число кратно 25 . По признаку делимости на 25 число должно оканчиваться на 00 , 25 , 50 или 75 . - Если число оканчивается на 00 ( b = 0 , c = 0 ), цифры не различны. Этот случай не подходит. - Если число оканчивается на 25 ( b = 2 , c = 5 ), то цифра a может быть любой от 1 до 9 , кроме 2 и 5 . - Если число оканчивается на 50 ( b = 5 , c = 0 ), то цифра a может быть любой от 1 до 9 , кроме 5 . - Если число оканчивается на 75 ( b = 7 , c = 5 ), то цифра a может быть любой от 1 до 9 , кроме 7 и 5 . 2. Сумма квадратов цифр S = a^2 + b^2 + c^2 должна делиться на 5 , но не делиться на 25 . Рассмотрим возможные случаи: Случай 1: число оканчивается на 25 . Сумма квадратов цифр: S = a^2 + 2^2 + 5^2 = a^2 + 4 + 25 = a^2 + 29. - Если a = 1 , то S = 1^2 + 29 = 30 . Число 30 делится на 5 и не делится на 25 . Цифры 1; 2; 5 различны. Число 125 подходит. - Если a = 4 , то S = 16 + 29 = 45 . Число 45 делится на 5 и не делится на 25 . Цифры 4; 2; 5 различны. Число 425 подходит. - Если a = 6 , то S = 36 + 29 = 65 . Число 65 делится на 5 и не делится на 25 . Цифры 6; 2; 5 различны. Число 625 подходит. - Если a = 9 , то S = 81 + 29 = 110 . Число 110 делится на 5 и не делится на 25 . Цифры 9; 2; 5 различны. Число 925 подходит. Случай 2: число оканчивается на 50 . Сумма квадратов цифр: S = a^2 + 5^2 + 0^2 = a^2 + 25. Чтобы S делилось на 5 , цифра a^2 должна делиться на 5 , что возможно только при a = 5 . Но по условию цифры должны быть различны, а цифра 5 уже использована во втором разряде. Случай не подходит. Случай 3: число оканчивается на 75 . Сумма квадратов цифр: S = a^2 + 7^2 + 5^2 = a^2 + 49 + 25 = a^2 + 74. - Если a = 1 , то S = 1 + 74 = 75 . Число делится на 25 . Не подходит. - Если a = 4 , то S = 16 + 74 = 90 . Делится на 5 , не делится на 25 . Число 475 подходит. - Если a = 6 , то S = 36 + 74 = 110 . Делится на 5 , не делится на 25 . Число 675 подходит. - Если a = 9 , то S = 81 + 74 = 155 . Делится на 5 , не делится на 25 . Число 975 подходит. В качестве ответа можно указать любое из найденных чисел: 125 , 425 , 625 , 925 , 475 , 675 , 975 . Ответ: 125

125