Задача №14153

Найдите шестизначное натуральное число, которое записывается только цифрами $1$ и $2$ и делится на $24\text{.}$ В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Число делится на $24$ тогда и только тогда, когда оно одновременно делится на $3$ и на $8$ (так как $24=3\cdot 8$ и числа $3$ и $8$ взаимно просты).

1. Признак делимости на $8\text{:}$ число, образованное последними тремя цифрами, должно делиться на $8\text{.}$ Выпишем все возможные трёхзначные числа, состоящие только из цифр $1$ и $2\text{,}$ и проверим их на делимость на $8\text{:}$

• $111$ — нечётно;
• $112\text{:}$ $112:8=14$ (подходит);
• $121$ — нечётно;
• $122\text{:}$ $122:8=15,25$ (не подходит);
• $211$ — нечётно;
• $212\text{:}$ $212:8=26,5$ (не подходит);
• $221$ — нечётно;
• $222\text{:}$ $222:8=27,75$ (не подходит).

Таким образом, искомое шестизначное число должно оканчиваться на $112\text{.}$

2. Признак делимости на $3\text{:}$ сумма цифр числа должна делиться на $3\text{.}$ Пусть наше число имеет вид $\overline{abc112}\text{,}$ где цифры $a,b,c\in \{1;2\}\text{.}$ Сумма цифр числа равна:

Нам нужно подобрать цифры $a,b,c$ так, чтобы сумма $S$ была кратна $3\text{.}$

• Если мы возьмём две двойки и одну единицу (например, $a=1\text{,}$ $b=2\text{,}$ $c=2$), то сумма $a+b+c=5\text{.}$
• Тогда $S=5+4=9\text{.}$ Число $9$ делится на $3\text{.}$

3. Сформируем число из выбранных цифр: $122112\text{.}$ Проверим его:

• Состоит только из $1$ и $2\text{:}$ да.
• Шестизначное: да.
• Делится на $8\text{:}$ оканчивается на $112\text{,}$ $112=8\cdot 14\text{,}$ да.
• Делится на $3\text{:}$ сумма цифр $1+2+2+1+1+2=9\text{,}$ да.

Следовательно, число $122112$ делится на $24\text{.}$

Ответ: 122112