Задача №14152

Найдите трёхзначное натуральное число $A\text{,}$ обладающее тремя свойствами:
1. Сумма цифр числа $A$ делится на 8.
2. Сумма цифр числа $A+1$ делится на 8.
3. В числе $A$ сумма крайних цифр кратна средней цифре.

В ответе запишите какое-нибудь одно такое число.

Пусть $A=\overline{abc}$ — искомое трёхзначное число, где $a,b,c$ — его цифры. По условию $a\in \{1;2;\dots ;9\}\text{,}$ а $b,c\in \{0;1;\dots ;9\}\text{.}$

1. Сумма цифр числа $A$ равна $S_A=a+b+c\text{.}$ По условию $S_A$ делится на 8.

2. Сумма цифр числа $A+1$ также должна делиться на 8. Если последняя цифра $c<9\text{,}$ то сумма цифр $A+1$ равна $S_A+1\text{.}$ Однако два последовательных целых числа не могут оба делиться на 8. Значит, при прибавлении единицы происходит перенос разряда, что возможно только если $c=9\text{.}$

3. Рассмотрим случай, когда $b<9\text{.}$ Тогда $A=\overline{ab9}\text{,}$ а $A+1=\overline{a(b+1)0}\text{.}$

$$S_A=a+b+9$$ $$S_{A+1}=a+(b+1)+0=a+b+1$$

Для того чтобы обе суммы делились на 8, необходимо и достаточно, чтобы выражение $a+b+1$ было кратно 8. Поскольку $1⩽a⩽9$ и $0⩽b⩽8\text{,}$ сумма $a+b+1$ может принимать значения от 2 до 18. Следовательно, возможны два варианта:

• $a+b+1=8\Rightarrow a+b=7\text{;}$
• $a+b+1=16\Rightarrow a+b=15\text{.}$

4. Третье условие задачи: сумма крайних цифр кратна средней цифре. То есть $a+c$ кратно $b\text{.}$ Так как $c=9\text{,}$ получаем, что $a+9$ должно делиться на $b\text{.}$

5. Проверим возможные значения из первого варианта ($a+b=7$):

• Если $a=1,b=6\text{:}$ $1+9=10$ — не делится на 6;
• Если $a=2,b=5\text{:}$ $2+9=11$ — не делится на 5;
• Если $a=3,b=4\text{:}$ $3+9=12$ — делится на 4. Число 349 подходит;
• Если $a=4,b=3\text{:}$ $4+9=13$ — не делится на 3;
• Если $a=5,b=2\text{:}$ $5+9=14$ — делится на 2. Число 529 подходит;
• Если $a=6,b=1\text{:}$ $6+9=15$ — делится на 1. Число 619 подходит.

6. Проверим возможные значения из второго варианта ($a+b=15$):

• Если $a=6,b=9\text{:}$ противоречит условию $b<9\text{;}$
• Если $a=7,b=8\text{:}$ $7+9=16$ — делится на 8. Число 789 подходит;
• Если $a=9,b=6\text{:}$ $9+9=18$ — делится на 6. Число 969 подходит.

Таким образом, условиям задачи удовлетворяют числа 349, 529, 619, 789, 969. Выберем любое одно из них.

Ответ: 349