Найдите трёхзначное натуральное число A , обладающее тремя свойствами: 1. Сумма цифр числа A делится на 8. 2. Сумма цифр числа A + 1 делится на 8. 3. В числе A сумма крайних цифр кратна средней цифре. В ответе запишите какое-нибудь одно такое число.

Пусть A = abc — искомое трёхзначное число, где a, b, c — его цифры. По условию a in 1; 2; ; 9 , а b, c in 0; 1; ; 9 . 1. Сумма цифр числа A равна S_A = a + b + c . По условию S_A делится на 8. 2. Сумма цифр числа A + 1 также должна делиться на 8. Если последняя цифра c < 9 , то сумма цифр A + 1 равна S_A + 1 . Однако два последовательных целых числа не могут оба делиться на 8. Значит, при прибавлении единицы происходит перенос разряда, что возможно только если c = 9 . 3. Рассмотрим случай, когда b < 9 . Тогда A = ab9 , а A + 1 = a(b+1)0 . S_A = a + b + 9 S_(A+1) = a + (b + 1) + 0 = a + b + 1 Для того чтобы обе суммы делились на 8, необходимо и достаточно, чтобы выражение a + b + 1 было кратно 8. Поскольку 1 a 9 и 0 b 8 , сумма a + b + 1 может принимать значения от 2 до 18. Следовательно, возможны два варианта: - a + b + 1 = 8 => a + b = 7 ; - a + b + 1 = 16 => a + b = 15 . 4. Третье условие задачи: сумма крайних цифр кратна средней цифре. То есть a + c кратно b . Так как c = 9 , получаем, что a + 9 должно делиться на b . 5. Проверим возможные значения из первого варианта ( a + b = 7 ): - Если a = 1, b = 6 : 1 + 9 = 10 — не делится на 6; - Если a = 2, b = 5 : 2 + 9 = 11 — не делится на 5; - Если a = 3, b = 4 : 3 + 9 = 12 — делится на 4. Число 349 подходит; - Если a = 4, b = 3 : 4 + 9 = 13 — не делится на 3; - Если a = 5, b = 2 : 5 + 9 = 14 — делится на 2. Число 529 подходит; - Если a = 6, b = 1 : 6 + 9 = 15 — делится на 1. Число 619 подходит. 6. Проверим возможные значения из второго варианта ( a + b = 15 ): - Если a = 6, b = 9 : противоречит условию b < 9 ; - Если a = 7, b = 8 : 7 + 9 = 16 — делится на 8. Число 789 подходит; - Если a = 9, b = 6 : 9 + 9 = 18 — делится на 6. Число 969 подходит. Таким образом, условиям задачи удовлетворяют числа 349, 529, 619, 789, 969. Выберем любое одно из них. Ответ: 349

349