Задача №14151

Цифры четырёхзначного числа, кратного $5\text{,}$ записали в обратном порядке и получили второе четырёхзначное число. Затем из исходного числа вычли второе и получили $2628\text{.}$ В ответе укажите какое-нибудь одно такое исходное число.

Пусть исходное четырёхзначное число равно $N=\overline{abcd}=1000a+100b+10c+d\text{,}$ где $a\text{,}$ $b\text{,}$ $c\text{,}$ $d$ — цифры, причём $a\ne 0\text{.}$

1. Так как число $N$ кратно $5\text{,}$ его последняя цифра $d$ может быть равна $0$ или $5\text{.}$

2. Второе число получено записью цифр в обратном порядке: $M=\overline{dcba}=1000d+100c+10b+a\text{.}$ Поскольку $M$ также является четырёхзначным числом, его первая цифра $d$ не может быть равна $0\text{.}$ Следовательно, $d=5\text{.}$

3. Составим уравнение согласно условию $N-M=2628\text{:}$

Разделим обе части уравнения на $9\text{:}$

4. Проанализируем полученное уравнение. Слагаемое $10(b-c)$ всегда оканчивается на $0\text{,}$ значит, последняя цифра числа $111a$ должна совпадать с последней цифрой числа $847\text{,}$ то есть равна $7\text{.}$ Это возможно только при $a=7\text{.}$

Подставим $a=7$ в уравнение:

5. Найдём возможные пары цифр $(b,c)\text{:}$

1. Если $c=0\text{,}$ то $b=7\text{.}$ Число $N=7705\text{.}$
2. Если $c=1\text{,}$ то $b=8\text{.}$ Число $N=7815\text{.}$
3. Если $c=2\text{,}$ то $b=9\text{.}$ Число $N=7925\text{.}$

Проверим число $7705\text{:}$ оно кратно $5\text{,}$ обратное число $5077$ также четырёхзначное. Разность: $7705-5077=2628\text{.}$ Условие выполняется.

Ответ: 7705