Задача №14150

Цифры четырёхзначного числа, кратного $5\text{,}$ записали в обратном порядке и получили второе четырёхзначное число. Затем из исходного числа вычли второе и получили $2277\text{.}$ В ответе укажите какое-нибудь одно такое исходное число.

Пусть искомое четырёхзначное число имеет вид $N=\overline{abcd}\text{.}$ По условию оно кратно $5\text{,}$ значит, его последняя цифра $d$ равна $0$ или $5\text{.}$

Второе четырёхзначное число $M$ получено перестановкой цифр в обратном порядке: $M=\overline{dcba}\text{.}$ Поскольку $M$ — четырёхзначное число, его первая цифра $d$ не может быть равна $0\text{.}$ Следовательно, $d=5\text{.}$

Запишем числа в развёрнутом виде:

По условию разность $N-M=2277\text{:}$

Разделим обе части уравнения на $9\text{:}$

Заметим, что число $10(b-c)$ оканчивается на $0\text{.}$ Значит, последняя цифра числа $111a$ должна совпадать с последней цифрой числа $808\text{,}$ то есть равняться $8\text{.}$ Это возможно только при $a=8\text{.}$

Подставим $a=8$ в уравнение:

Так как $b$ и $c$ — цифры, возможны следующие варианты:

1. $b=0\text{,}$ $c=8\text{.}$ Тогда число $N=8085\text{.}$
2. $b=1\text{,}$ $c=9\text{.}$ Тогда число $N=8195\text{.}$

Проверим число $8085\text{:}$
Число кратно $5\text{.}$ Обратное число — $5808\text{.}$ Разность: $8085-5808=2277\text{.}$ Условие выполняется.

Ответ: 8085