Задача №14148

Список заданий викторины состоял из 33 вопросов. За каждый правильный ответ ученик получал 7 очков, за неправильный ответ с него списывали 13 очков, а при отсутствии ответа давали 0 очков. Сколько верных ответов дал ученик, набравший 56 очков, если известно, что по крайней мере один раз он ошибся?

Пусть ученик дал $x$ правильных ответов, $y$ неправильных, и $z$ вопросов оставил без ответа. Всего вопросов 33: $x+y+z=33\text{.}$
Очки: за правильные $7x\text{,}$ за неправильные $-13y\text{,}$ за без ответа $0\text{.}$ Сумма очков: $7x-13y=56\text{.}$
Известно, что $y⩾1\text{.}$ Выразим $x\text{:}$ $7x=56+13y$ \Rightarrow $x=\frac{56+13y}{7}=8+\frac{13y}{7}\text{.}$
Чтобы $x$ было целым, $13y$ должно делиться на 7. Так как 13 и 7 взаимно просты, $y$ должно быть кратно 7.
Пробуем $y=7\text{:}$ тогда $x=8+\frac{13\cdot 7}{7}=8+13=21\text{.}$ Тогда $z=33-21-7=5\text{.}$ Все числа целые неотрицательные, $y⩾1$ выполняется.
Проверим $y=14\text{:}$ $x=8+26=34\text{,}$ но тогда $x+y=48>33\text{,}$ не подходит.
Значит, $x=21\text{.}$

Ответ: $21$