На кольцевой дороге расположено четыре бензоколонки: А, Б, В и Г. Расстояние между А и Б — 40 км, между А и В — 25 км, между В и Г — 25 км, между Г и А — 30 км (все расстояния измеряются вдоль кольцевой дороги по кратчайшей дуге). Найдите расстояние (в километрах) между Б и В.
Пусть L — длина кольцевой дороги. Поскольку все расстояния измеряются по кратчайшей дуге, расстояние между любыми двумя точками не может превышать половины длины всей дороги: d(X, Y) (L)/(2) . Из условия d(A, Б) = 40 км следует, что (L)/(2) 40 , то есть L 80 км. Рассмотрим точки A, В и Г . Расстояния между ними: d(A, В) = 25 , d(В, Г) = 25 и d(Г, A) = 30 . На кольцевой дороге для любых трёх точек сумма кратчайших расстояний между ними либо равна удвоенному максимальному из этих расстояний (если одна точка лежит на кратчайшей дуге между двумя другими), либо равна полной длине окружности L . Проверим первый случай: 25 + 25 = 50 != 30 25 + 30 = 55 != 25 Следовательно, точки «огибают» окружность, и их сумма расстояний равна длине дороги: L = d(A, В) + d(В, Г) + d(Г, A) = 25 + 25 + 30 = 80 км. Мы нашли, что L = 80 км. Так как d(A, Б) = 40 км, а это ровно половина длины дороги ( 80 / 2 = 40 ), то точка Б находится в диаметрально противоположном месте относительно точки A . Примем координату точки A за 0 . Тогда координата точки Б будет 40 . Поскольку d(A, В) = 25 , координата точки В может быть равна либо 25 , либо 80 - 25 = 55 . Найдём расстояние между Б и В : Если В находится в точке 25 , то расстояние d(Б, В) = |40 - 25| = 15 км. Если В находится в точке 55 , то расстояние d(Б, В) = |55 - 40| = 15 км. В обоих случаях кратчайшее расстояние между бензоколонками Б и В составляет 15 км. Ответ: 15.
15