Задача №14140

Список заданий викторины состоял из 25 вопросов. За каждый правильный ответ ученик получал 7 очков, за неправильный ответ с него списывали 10 очков, а при отсутствии ответа давали 0 очков. Сколько верных ответов дал ученик, набравший 42 очка, если известно, что по крайней мере один раз он ошибся?

Пусть $x$ — число правильных ответов, $y$ — число неправильных, $z$ — число без ответа.

Условия: $x+y+z=25\text{,}$ $7x-10y=42\text{,}$ $y⩾1\text{.}$

Выразим $z=25-x-y\text{.}$ Подставим во второе уравнение: $7x-10y=42\text{.}$

Решаем в целых неотрицательных числах. Из уравнения:

[
7x - 10y = 42\quad\Rightarrow\quad 7x = 42 + 10y\quad\Rightarrow\quad x = \dfrac{42 + 10y}{7} = 6 + \dfrac{10y}{7}.
]

Чтобы $x$ было целым, $10y$ должно делиться на 7, т.е. $y$ кратно 7.

Рассмотрим возможные значения $y\text{.}$

При $y=7\text{:}$ тогда $x=6+\frac{10\cdot 7}{7}=6+10=16\text{,}$ и $z=25-16-7=2$ (неотрицательно, подходит).

При $y=14\text{:}$ тогда $x=6+\frac{10\cdot 14}{7}=6+20=26\text{,}$ но $x+y=26+14=40>25\text{,}$ что невозможно, так как общее число ответов не превышает 25.

Проверим $y=0\text{:}$ тогда $x=6\text{,}$ но по условию $y⩾1\text{,}$ так как хотя бы одна ошибка, поэтому не подходит.

Итак, единственное подходящее значение $x=16\text{.}$

Ответ: 16