Список заданий викторины состоял из 25 вопросов. За каждый правильный ответ ученик получал 7 очков, за неправильный ответ с него списывали 10 очков, а при отсутствии ответа давали 0 очков. Сколько верных ответов дал ученик, набравший 42 очка, если известно, что по крайней мере один раз он ошибся?

Пусть x — число правильных ответов, y — число неправильных, z — число без ответа. Условия: x + y + z = 25 , 7x - 10y = 42 , y 1 . Выразим z = 25 - x - y . Подставим во второе уравнение: 7x - 10y = 42 . Решаем в целых неотрицательных числах. Из уравнения: [ 7x - 10y = 42 => 7x = 42 + 10y => x = (42 + 10y)/(7) = 6 + (10y)/(7). ] Чтобы x было целым, 10y должно делиться на 7, т.е. y кратно 7. Рассмотрим возможные значения y . При y = 7 : тогда x = 6 + (10* 7)/(7) = 6 + 10 = 16 , и z = 25 - 16 - 7 = 2 (неотрицательно, подходит). При y = 14 : тогда x = 6 + (10* 14)/(7) = 6 + 20 = 26 , но x + y = 26 + 14 = 40 > 25 , что невозможно, так как общее число ответов не превышает 25. Проверим y = 0 : тогда x = 6 , но по условию y 1 , так как хотя бы одна ошибка, поэтому не подходит. Итак, единственное подходящее значение x = 16 . Ответ: 16

\(16\)