Задача №14133

Найдите четырёхзначное число, большее 1500, но меньшее 2000, которое делится на 24 и сумма цифр которого равна 24. В ответе запишите какое-нибудь одно такое число.

Пусть искомое число $N$ — четырёхзначное, причём $1500<N<2000\text{.}$ Тогда первая цифра числа равна 1. Представим $N$ в виде:

где $a$ — вторая цифра (поскольку $N>1500\text{,}$ то $a\in \{5;6;7;8;9\}$), а $b$ и $c$ — третья и четвёртая цифры ($b,c\in \{0;1;\dots ;9\}$).

Условия задачи:

1. Сумма цифр равна 24:

2. Число $N$ делится на 24. Так как $24=3\cdot 8$ и числа 3 и 8 взаимно просты, то $N$ должно делиться и на 3, и на 8.

• Делимость на 3: сумма цифр равна 24, а 24 делится на 3, поэтому условие делимости на 3 выполняется автоматически.
• Делимость на 8: число $N$ делится на 8 тогда и только тогда, когда число, образованное последними тремя цифрами, то есть $M=100a+10b+c\text{,}$ делится на 8 (поскольку 1000 делится на 8).

Таким образом, требуется найти цифры $a,b,c\text{,}$ удовлетворяющие условиям:

Переберём возможные значения $a\text{:}$

1. При $a=5\text{:}$ $b+c=23-5=18\text{.}$ Единственный вариант для цифр: $b=9,c=9\text{.}$ Тогда $M=100\cdot 5+10\cdot 9+9=599\text{.}$ Число 599 не делится на 8.
2. При $a=6\text{:}$ $b+c=17\text{.}$ Возможные пары $(b;c)\text{:}$ $(8;9)$ и $(9;8)\text{.}$

• Для $(8;9)\text{:}$ $M=689\text{,}$ не делится на 8.
• Для $(9;8)\text{:}$ $M=698\text{,}$ не делится на 8.
  3. При $a=7\text{:}$ $b+c=16\text{.}$ Пары: $(7;9),(8;8),(9;7)\text{.}$
• $M$ соответственно: 779, 788, 797 — ни одно не делится на 8.
  4. При $a=8\text{:}$ $b+c=15\text{.}$ Пары: $(6;9),(7;8),(8;7),(9;6)\text{.}$
• Проверяем $M\text{:}$
  • $(6;9)\text{:}$ 869 — не делится на 8;
  • $(7;8)\text{:}$ 878 — не делится на 8;
  • $(8;7)\text{:}$ 887 — не делится на 8;
  • $(9;6)\text{:}$ $M=896\text{,}$ $896:8=112\text{,}$ делится.
    Значит, для $a=8,b=9,c=6$ получаем $M=896\text{,}$ которое делится на 8. Тогда

Проверяем: $1896\in (1500;2000)\text{,}$ сумма цифр $1+8+9+6=24\text{,}$ и $1896:24=79\text{.}$ Следовательно, 1896 удовлетворяет всем условиям.
5. При $a=9\text{:}$ $b+c=14\text{.}$ Пары, например, $(6;8)$ дают $M=968\text{,}$ которое делится на 8 (так как $968:8=121$); тогда $N=1968$ также является решением.

По условию требуется указать одно такое число. В качестве ответа можно записать, например, 1896.

Ответ: 1896