Задача №14131

Найдите четырёхзначное число, которое в 4 раза меньше четвёртой степени некоторого натурального числа. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Пусть искомое четырёхзначное число равно $N\text{,}$ а натуральное число равно $k\text{.}$ По условию:

Так как $N$ — четырёхзначное число, то $1000⩽N⩽9999\text{.}$ Тогда:

Заметим, что если $k$ нечётное, то $k^4$ нечётное и не делится на 4. Значит, $k$ должно быть чётным. Пусть $k=2m\text{,}$ где $m$ — натуральное число. Тогда:

Так как $1000⩽4m^4⩽9999\text{,}$ разделим на 4:

Найдём натуральные $m\text{,}$ для которых $m^4$ лежит в этих пределах, и вычислим соответствующие значения $N\text{:}$

1. $m=4\text{:}$ $m^4=256\text{,}$ тогда $N=4\cdot 256=1024\text{.}$
2. $m=5\text{:}$ $m^4=625\text{,}$ тогда $N=4\cdot 625=2500\text{.}$
3. $m=6\text{:}$ $m^4=1296\text{,}$ тогда $N=4\cdot 1296=5184\text{.}$
4. $m=7\text{:}$ $m^4=2401\text{,}$ тогда $N=4\cdot 2401=9604\text{.}$
5. $m=8\text{:}$ $m^4=4096$ (не подходит).

Таким образом, условию задачи удовлетворяют числа 1024, 2500, 5184, 9604. В ответ можно указать любое из них.

Ответ: 1024