Задача №14126

Вычеркните в числе 47295782 три цифры так, чтобы получившееся число делилось на 18. В ответе укажите какое-нибудь одно получившееся число.

Для того чтобы число делилось на 18, оно должно одновременно делиться на 2 и на 9.

1. Найдём сумму цифр исходного числа 47295782:

2. Число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9. После вычеркивания трёх цифр останется пятизначное число. Обозначим сумму вычеркнутых цифр через $S_{\text{выч}}\text{.}$ Тогда сумма оставшихся цифр $S=44-S_{\text{выч}}\text{.}$

Так как $S$ должно делиться на 9, то разность $44-S_{\text{выч}}$ должна быть кратна 9. Это значит, что $S_{\text{выч}}$ при делении на 9 должно давать такой же остаток, как и 44. Поскольку $44=4\cdot 9+8\text{,}$ то $S_{\text{выч}}\equiv 8(\mathrm{mod}9)\text{.}$

3. Для того чтобы число делилось на 2, его последняя цифра должна быть чётной. В исходном числе последние две цифры — 8 и 2 — чётные.

4. Подберём три цифры, сумма которых даёт остаток 8 при делении на 9. Например, вычеркнем первую цифру 4, третью цифру 2 и восьмую (последнюю) цифру 2.
Их сумма: $4+2+2=8\text{,}$ что удовлетворяет условию $8\equiv 8(\mathrm{mod}9)\text{.}$

Оставшиеся цифры в порядке их следования: 7 (вторая позиция), 9 (четвёртая), 5 (пятая), 7 (шестая), 8 (седьмая). Они образуют число 79578.

5. Проверим полученное число 79578:

• Сумма цифр: $7+9+5+7+8=36\text{.}$ Число 36 делится на 9, значит, и само число 79578 делится на 9.
• Последняя цифра 8 — чётная, следовательно, число делится на 2.
• Так как число делится и на 2, и на 9, оно делится на 18.

Ответ: 79578