Задача №14125

Найдите пятизначное число, кратное $22\text{,}$ любые две соседние цифры которого отличаются на $2\text{.}$ В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Пусть пятизначное число имеет цифры $a,b,c,d,e\text{,}$ где $a$ — первая цифра, $a\ne 0\text{.}$

Условия:

1. Число кратно $22\text{,}$ следовательно, оно делится на $2$ и на $11\text{.}$

2. Любые две соседние цифры отличаются на $2\text{:}$

Так как число делится на $2\text{,}$ последняя цифра $e$ чётная. Для делимости на $11$ должно выполняться условие: разность суммы цифр на нечётных позициях и суммы цифр на чётных позициях должна делиться на $11\text{,}$ то есть $(a+c+e)-(b+d)$ делится на $11\text{.}$

Подберём подходящую цепочку. Начнём с последней цифры. Возьмём $e=0$ (чётное). Тогда $d=e\pm 2\text{.}$ Поскольку $0-2=-2$ не является цифрой, то $d=0+2=2\text{.}$

Далее, $c=d\pm 2\text{.}$ Возьмём $c=2-2=0$ (также подходит $c=4\text{,}$ но для простоты выберем $0$).

Тогда $b=c\pm 2\text{.}$ Если $c=0\text{,}$ то $b=0+2=2\text{.}$

Теперь $a=b\pm 2\text{.}$ Поскольку $b=2\text{,}$ то $a=2+2=4$ или $a=2-2=0\text{.}$ Но $a\ne 0\text{,}$ поэтому $a=4\text{.}$

Получаем цифры: $a=4\text{,}$ $b=2\text{,}$ $c=0\text{,}$ $d=2\text{,}$ $e=0\text{.}$ Искомое число — $42020\text{.}$

Проверим условия:

• Соседние цифры: $|4-2|=2\text{,}$ $|2-0|=2\text{,}$ $|0-2|=2\text{,}$ $|2-0|=2\text{.}$
• Число $42020$ чётное, так как последняя цифра $0\text{.}$
• Сумма цифр на нечётных позициях: $4+0+0=4\text{,}$ на чётных: $2+2=4\text{.}$ Разность $4-4=0\text{,}$ что делится на $11\text{.}$

Следовательно, число $42020$ кратно $22\text{.}$

Ответ: $42020\text{.}$