Задача №14115

Вычеркните в числе $141565041$ три цифры так, чтобы получившееся число делилось на $30\text{.}$ В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Для того чтобы число делилось на $30\text{,}$ оно должно одновременно делиться на $10$ и на $3\text{.}$

1. Делимость на $10\text{:}$ число должно оканчиваться на $0\text{.}$ В исходном числе $141565041$ цифра $0$ находится на седьмой позиции. Чтобы $0$ стал последней цифрой, необходимо вычеркнуть все цифры после него, то есть цифры $4$ и $1$ на восьмой и девятой позициях.

2. Вычеркивание трёх цифр: так как мы уже вычеркнули две цифры после $0\text{,}$ остаётся вычеркнуть ещё одну цифру из первых шести цифр (позиции $1$–$6$).

3. Делимость на $3\text{:}$ сумма цифр исходного числа:

Число $27$ делится на $3\text{.}$ После вычеркивания трёх цифр новая сумма цифр будет делиться на $3$ тогда и только тогда, когда сумма самих вычеркнутых цифр делится на $3\text{.}$

Вычеркнутые цифры после $0$ — это $4$ и $1\text{,}$ их сумма равна $5\text{.}$ Пусть $a$ — цифра, которую мы вычеркнем из позиций $1$–$6\text{.}$ Тогда сумма всех вычеркнутых цифр $(5+a)$ должна делиться на $3\text{,}$ то есть:

4. Выбор цифры $a\text{:}$ рассмотрим цифры на позициях $1$–$6$ (это $1,4,1,5,6,5$) и их остатки от деления на $3\text{:}$

• $1\equiv 1(\mathrm{mod}3)$
• $4\equiv 1(\mathrm{mod}3)$
• $1\equiv 1(\mathrm{mod}3)$
• $5\equiv 2(\mathrm{mod}3)$
• $6\equiv 0(\mathrm{mod}3)$
• $5\equiv 2(\mathrm{mod}3)$

Цифры, удовлетворяющие условию $a\equiv 1(\mathrm{mod}3)$ - это первая цифра $1\text{,}$ вторая цифра $4$ или третья цифра $1\text{.}$

5. Пример: вычеркнем вторую цифру $4\text{,}$ а также уже упомянутые цифры после $0$ ($4$ и $1$). Тогда оставшиеся цифры образуют число $115650\text{.}$

Проверка:

• Число $115650$ оканчивается на $0\text{,}$ следовательно, оно делится на $10\text{.}$
• Сумма цифр: $1+1+5+6+5+0=18\text{.}$ Так как $18$ делится на $3\text{,}$ число также делится на $3\text{.}$
• Следовательно, $115650$ делится на $30\text{.}$

Аналогично, вычеркивая первую или третью цифру $1\text{,}$ можно получить числа $415650$ или $145650\text{.}$

Ответ: $115650$