Задача №14112

Найдите трёхзначное натуральное число, большее 600, которое при делении и на 3, и на 4, и на 5 даёт в остатке 1 и цифры в записи которого расположены в порядке убывания слева направо. В ответе запишите какое-нибудь одно такое число.

а) Поскольку число при делении на 3, 4 и 5 даёт остаток 1, то разность числа и 1 делится на 3, 4 и 5, а значит, на НОК(3,4,5)=60. Следовательно, число имеет вид $60k+1$ для некоторого натурального k.

б) Число трёхзначное и больше 600, поэтому:

Решая неравенства:
$600<60k+1$ → $599<60k$ → $k>9,983\text{,}$ так что $k\ge 10\text{.}$
$60k+1<1000$ → $60k<999$ → $k<16,65\text{,}$ так что $k\le 16\text{.}$
Таким образом, k может быть 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16.

в) Цифры числа должны быть расположены в порядке строгого убывания слева направо: первая цифра > вторая > третья. Переберем значения k:

• При k=10: число 601, цифры 6,0,1 – не убывают (0<1).
• k=11: 661 – не убывают (6=6).
• k=12: 721 – цифры 7,2,1 убывают (7>2>1).
• k=13: 781 – не убывают (7<8).
• k=14: 841 – убывают (8>4>1).
• k=15: 901 – не убывают (0<1).
• k=16: 961 – убывают (9>6>1).

г) Подходящие числа: 721, 841, 961. В ответе можно записать любое из них, например, 721.

Ответ: 721