Задача №14110

Вычеркните в числе $45278351$ три цифры так, чтобы получившееся число делилось на $15\text{.}$ В ответе укажите какое-нибудь одно получившееся число.

Число делится на $15\text{,}$ если оно делится на $3$ и на $5\text{.}$

1. Делимость на 5. Последняя цифра должна быть $0$ или $5\text{.}$ В исходном числе $45278351$ нет цифры $0\text{,}$ поэтому последняя цифра нового числа должна быть $5\text{.}$ Цифра $5$ встречается на 2-й и 7-й позициях. Чтобы $5$ стала последней, после неё не должно быть оставленных цифр. Если выбрать $5$ на 2-й позиции, то после неё $6$ цифр, а вычеркнуть можно только $3\text{,}$ поэтому это невозможно. Значит, оставляем $5$ на 7-й позиции и вычеркиваем цифру на 8-й позиции (цифру $1$). Тогда последняя цифра — $5\text{.}$

2. Делимость на 3. Сумма цифр нового числа должна делиться на $3\text{.}$ Исходная сумма цифр:

Вычеркиваем три цифры: одну обязательную (цифру $1$ на 8-й позиции) и две из позиций 1–6. Пусть сумма двух вычеркнутых цифр из позиций 1–6 равна $S\text{.}$ Тогда сумма цифр нового числа: $35-(1+S)=34-S\text{.}$ Это выражение должно делиться на $3\text{:}$

Поскольку $34\equiv 1(\mathrm{mod}3)\text{,}$ получаем $1-S\equiv 0(\mathrm{mod}3)\text{,}$ откуда $S\equiv 1(\mathrm{mod}3)\text{.}$ Таким образом, сумма двух вычеркнутых цифр должна давать остаток $1$ при делении на $3\text{.}$

3. Цифры на позициях 1–6: $4,5,2,7,8,3\text{.}$ Их остатки от деления на $3\text{:}$

• $4\text{:}$ остаток $1\text{;}$
• $5\text{:}$ остаток $2\text{;}$
• $2\text{:}$ остаток $2\text{;}$
• $7\text{:}$ остаток $1\text{;}$
• $8\text{:}$ остаток $2\text{;}$
• $3\text{:}$ остаток $0\text{.}$

Пары с суммой, дающей остаток $1$ по модулю $3\text{:}$

• $(3;4)$ или $(3;7)$ (остатки $0$ и $1$);
• $(5;2)\text{,}$ $(5;8)\text{,}$ $(2;8)$ (остатки $2$ и $2\text{,}$ сумма остатков $4\equiv 1(\mathrm{mod}3)$).

4. Выберем пару $(3;4)\text{.}$ Вычеркнем цифры на позициях 1 (цифра $4$) и 6 (цифра $3$), а также цифру на позиции 8 (цифра $1$). Оставшиеся цифры на позициях 2, 3, 4, 5, 7 образуют число $52785\text{.}$

Проверка: последняя цифра $5\text{,}$ сумма цифр $5+2+7+8+5=27\text{,}$ число $27$ делится на $3\text{.}$ Следовательно, $52785$ делится на $15\text{.}$

5. Можно выбрать другие пары, например, вычеркнуть цифры $3$ и $7\text{,}$ получив число $45285\text{.}$ По условию достаточно указать одно число.

Ответ: 52785