Задача №14108

Найдите трёхзначное число $A\text{,}$ обладающее тремя свойствами:

1. Сумма цифр числа $A$ делится на 6.
2. Сумма цифр числа $A+3$ делится на 6.
3. Число $A$ больше 350 и меньше 400.

В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Поскольку число $A$ трёхзначное и $350<A<400\text{,}$ то его первая цифра равна 3. Пусть $A=300+10b+c\text{,}$ где $b$ — цифра десятков, $c$ — цифра единиц, причём $10b+c>50$ (так как $A>350$).

Сумма цифр числа $A$ обозначается $S(A)=3+b+c\text{.}$ По условию $S(A)$ делится на 6.

Рассмотрим число $A+3\text{.}$ При добавлении 3 возможны два случая:

1. Если $c+3<10$ (без перехода через разряд), то $A+3=300+10b+(c+3)\text{,}$ и сумма цифр:

$$S(A+3)=3+b+(c+3)=S(A)+3.$$

Поскольку $S(A)$ кратно 6, то $S(A+3)$ даёт остаток 3 при делении на 6, то есть не делится на 6. Следовательно, этот случай невозможен.

2. Если $c+3⩾10$ (с переносом в разряд десятков), то пусть $c+3=10+d\text{,}$ где $d$ — новая цифра единиц ($d\in \{0;1;2\}$). Тогда $c=7+d\text{.}$

Если $b+1<10$ (то есть $b⩽8$), то $A+3=300+10(b+1)+d\text{.}$ Сумма цифр:

$$S(A+3)=3+(b+1)+d=4+b+d.$$

Сумма цифр исходного числа:

$$S(A)=3+b+c=3+b+(7+d)=10+b+d.$$

Обозначим $T=b+d\text{.}$ По условию $10+T$ и $4+T$ оба кратны 6. Это возможно, если $T+4$ делится на 6, откуда $T\in \{2;8;14;\dots \}\text{.}$

При $b$ от 5 до 8 и $d$ от 0 до 2, сумма $T=b+d$ лежит в промежутке от 5 до 10. Единственное значение — $T=8\text{.}$

Возможные пары $(b;d)$ и соответствующие им числа $A\text{:}$

• $d=0\text{,}$ $b=8\text{,}$ тогда $c=7+0=7\text{,}$ число $A=387\text{.}$
• $d=1\text{,}$ $b=7\text{,}$ тогда $c=7+1=8\text{,}$ число $A=378\text{.}$
• $d=2\text{,}$ $b=6\text{,}$ тогда $c=7+2=9\text{,}$ число $A=369\text{.}$

Проверим случай $b=9\text{.}$ Тогда $A+3=400+d$ и $S(A+3)=4+d\text{.}$ Для делимости на 6 необходимо $d=2$ (тогда $c=9$). Проверим исходное число: $S(A)=3+9+9=21\text{,}$ что не делится на 6. Значит, при $b=9$ решений нет.

Таким образом, искомые числа: 369, 378, 387. В ответе можно указать любое из них.

Ответ: 369