Задача №14106

Вычеркните в числе $87451257$ три цифры так, чтобы получившееся число делилось на $15\text{.}$ В ответе укажите какое-нибудь одно получившееся число.

1. Число делится на $15$ тогда и только тогда, когда оно делится на $3$ и на $5\text{.}$

2. Делимость на $5\text{:}$ последняя цифра должна быть $0$ или $5\text{.}$ В исходном числе нет цифры $0\text{,}$ поэтому последняя цифра искомого числа должна быть $5\text{.}$

3. В числе $87451257$ цифра $5$ встречается на 4-й и 7-й позициях (слева направо). Если сделать $5$ на 4-й позиции последней, то после неё останутся цифры $1,2,5,7\text{.}$ Чтобы получить пятизначное число, нужно оставить некоторые из них, но тогда последняя цифра не будет $5\text{.}$ Следовательно, последней цифрой может быть только $5$ на 7-й позиции. Поэтому цифру на 8-й позиции ($7$) необходимо вычеркнуть.

4. Теперь из оставшихся семи цифр (позиции 1–7) нужно вычеркнуть ещё две цифры так, чтобы получившееся пятизначное число делилось на $3\text{.}$

5. Сумма всех цифр исходного числа:

После вычеркивания цифры на 8-й позиции ($7$) сумма оставшихся семи цифр равна $39-7=32\text{.}$

6. Пусть $S$ — сумма двух вычеркнутых цифр из позиций 1–6. Тогда сумма цифр итогового числа равна $32-S\text{.}$ Для делимости на $3$ необходимо, чтобы $32-S$ делилось на $3\text{.}$

7. Число $32$ при делении на $3$ даёт остаток $2\text{.}$ Поэтому $32-S$ делится на $3$ тогда и только тогда, когда $S$ при делении на $3$ даёт остаток $2\text{.}$

8. Цифры на позициях 1–6: $8,7,4,5,1,2\text{.}$ Их остатки при делении на $3\text{:}$ $8\to 2\text{,}$ $7\to 1\text{,}$ $4\to 1\text{,}$ $5\to 2\text{,}$ $1\to 1\text{,}$ $2\to 2\text{.}$

9. Нужно выбрать две цифры с суммой остатков $2$ по модулю $3\text{.}$ Это возможно только в том случае, если обе цифры имеют остаток $1\text{,}$ так как $1+1=2\text{.}$

10. Цифры с остатком $1\text{:}$ $7,4,1\text{.}$ Следовательно, нужно вычеркнуть две из этих трёх цифр.

11. Варианты вычеркивания:

1. Вычеркнуть цифры $7$ и $4$ (позиции 2 и 3). Оставшиеся цифры: $8,5,1,2$ с позиций 1, 4, 5, 6 и $5$ с позиции 7. Число: $85125\text{.}$
2. Вычеркнуть цифры $7$ и $1$ (позиции 2 и 5). Число: $84525\text{.}$
3. Вычеркнуть цифры $4$ и $1$ (позиции 3 и 5). Число: $87525\text{.}$

12. Все полученные числа делятся на $15\text{.}$ Например, для $85125\text{:}$

Число $21$ делится на $3\text{,}$ а последняя цифра $5$ означает, что число делится на $5\text{.}$ Следовательно, $85125$ делится на $15\text{.}$

Ответ: 85125