Задача №14104

Найдите четырёхзначное число, кратное $18\text{,}$ произведение цифр которого больше $10\text{,}$ но меньше $16\text{.}$ В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Число должно делиться на $18\text{,}$ значит, оно делится на $2$ и на $9\text{.}$

1. Признак делимости на $2\text{:}$ последняя цифра чётная.
2. Признак делимости на $9\text{:}$ сумма цифр делится на $9\text{.}$

Произведение цифр $P$ удовлетворяет условию $10<P<16\text{,}$ то есть $P\in \{11;12;13;14;15\}\text{.}$

Поскольку $P>10\text{,}$ все цифры ненулевые (иначе произведение равно $0$). Следовательно, цифры — целые числа от $1$ до $9\text{.}$

Рассмотрим возможные значения $P\text{:}$

• $P=11$ и $P=13$ невозможны, так как $11$ и $13$ — простые числа, которые нельзя представить в виде произведения четырёх цифр.
• $P=12\text{:}$ возможные наборы цифр (без учёта порядка): $\{1;1;2;6\}\text{,}$ $\{1;1;3;4\}\text{,}$ $\{1;2;2;3\}\text{.}$
• $P=14\text{:}$ возможный набор: $\{1;1;2;7\}\text{.}$
• $P=15\text{:}$ возможный набор: $\{1;1;3;5\}\text{.}$

Вычислим сумму цифр $S$ для каждого набора и проверим делимость на $9\text{:}$

• Для $\{1;1;2;6\}\text{:}$ $S=1+1+2+6=10$ — не делится на $9\text{.}$
• Для $\{1;1;3;4\}\text{:}$ $S=1+1+3+4=9$ — делится на $9\text{.}$
• Для $\{1;2;2;3\}\text{:}$ $S=1+2+2+3=8$ — не делится на $9\text{.}$
• Для $\{1;1;2;7\}\text{:}$ $S=1+1+2+7=11$ — не делится на $9\text{.}$
• Для $\{1;1;3;5\}\text{:}$ $S=1+1+3+5=10$ — не делится на $9\text{.}$

Единственный набор, сумма цифр которого кратна $9\text{,}$ — $\{1;1;3;4\}\text{.}$

Чтобы число делилось на $2\text{,}$ последняя цифра должна быть чётной. В наборе $\{1;1;3;4\}$ единственная чётная цифра — $4\text{,}$ поэтому искомое число должно оканчиваться на $4\text{.}$

Составим число из цифр $1\text{,}$ $1\text{,}$ $3\text{,}$ $4$ с четвёркой на конце. Например, $1134\text{.}$

Проверим:

• Сумма цифр: $1+1+3+4=9$ (делится на $9$).
• Последняя цифра $4$ чётная (делится на $2$).
• Произведение цифр: $1\cdot 1\cdot 3\cdot 4=12$ (удовлетворяет условию $10<12<16$).
• $1134:18=63$ (кратно $18$).

Ответ: 1134