Задача №14089

Найдите шестизначное натуральное число, которое записывается только цифрами $1$ и $2$ и делится на $72\text{.}$ В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Число должно делиться на $72=8\cdot 9\text{,}$ поэтому оно должно делиться на $8$ и на $9\text{.}$

Признак делимости на $9\text{:}$ сумма цифр должна делиться на $9\text{.}$ Поскольку число состоит только из цифр $1$ и $2\text{,}$ и оно шестизначное, сумма цифр может быть от $6$ до $12\text{.}$ Чтобы делиться на $9\text{,}$ сумма должна быть $9\text{.}$ Следовательно, в числе три единицы и три двойки.

Признак делимости на $8\text{:}$ число, образованное последними тремя цифрами, должно делиться на $8\text{.}$ Среди трёхзначных чисел, составленных из цифр $1$ и $2\text{,}$ делится на $8$ только $112$ (так как $112/8=14$).

Таким образом, последние три цифры — $112\text{.}$ Первые три цифры — оставшиеся цифры: одна единица и две двойки. Например, можно взять $122\text{.}$ Получаем число $122112\text{.}$

Проверим: окончание $112$ делится на $8\text{,}$ сумма цифр $1+2+2+1+1+2=9$ делится на $9\text{.}$ Значит, $122112$ делится на $72\text{.}$

Ответ: $122112$