Задача №14087

Найдите четырёхзначное натуральное число, кратное 12, произведение цифр которого равно 60. В ответе запишите какое-нибудь одно такое число.

1. Чтобы произведение цифр четырёхзначного числа было равно 60, разложим число 60 на простые множители:

2. Из этих множителей можно составить следующие наборы четырёх цифр (произведение которых равно 60):

• $\{2;2;3;5\}\text{:}$ сумма цифр $2+2+3+5=12$ (делится на 3);
• $\{1;4;3;5\}\text{:}$ сумма цифр $1+4+3+5=13$ (не делится на 3);
• $\{1;2;6;5\}\text{:}$ сумма цифр $1+2+6+5=14$ (не делится на 3).

3. Число должно быть кратно 12, то есть оно должно одновременно делиться на 3 и на 4.

• Признак делимости на 3: сумма цифр числа делится на 3. Этому условию удовлетворяет только набор цифр $\{2;2;3;5\}\text{.}$
• Признак делимости на 4: число, образованное двумя последними цифрами, должно делиться на 4.

4. Составим возможные двузначные числа из набора $\{2;2;3;5\}\text{,}$ которые делятся на 4: это 32 и 52.

5. Подберём варианты искомого числа:

• Если число заканчивается на 32, то из оставшихся цифр 2 и 5 можно составить числа 2532 и 5232.
• Если число заканчивается на 52, то из оставшихся цифр 2 и 3 можно составить числа 2352 и 3252.

6. Проверим одно из них, например 2352:

• Число четырёхзначное: да.
• Произведение цифр $2\cdot 3\cdot 5\cdot 2=60\text{:}$ да.
• Делимость на 12: $2352:12=196$ (делится без остатка): да.

Ответ: 2352