Из десяти стран семь подписали договор о дружбе ровно с пятью другими странами, а каждая из оставшихся трёх — ровно с семью. Сколько всего было подписано договоров?

Для решения задачи воспользуемся теорией графов. Представим каждую страну в виде вершины графа, а каждый договор между двумя странами — в виде ребра, соединяющего соответствующие вершины. Согласно лемме о рукопожатиях, сумма степеней всех вершин графа равна удвоенному количеству его рёбер. Степень вершины в данном случае — это количество договоров, подписанных конкретной страной. 1. Найдём сумму степеней всех 10 вершин: 7 * 5 + 3 * 7 = 35 + 21 = 56 2. Так как каждый договор соединяет две страны, каждое ребро графа учитывается в этой сумме дважды. Чтобы найти общее количество договоров (рёбер), разделим полученную сумму на 2 : (56)/(2) = 28 Таким образом, всего было подписано 28 договоров. Ответ: 28

28