Найдите трёхзначное число A , обладающее тремя свойствами: - сумма цифр числа A делится на 7; - сумма цифр числа A + 2 делится на 7; - число A больше 300 и меньше 350. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Пусть искомое трёхзначное число — A = 3bc , где b — цифра десятков, c — цифра единиц. Так как число больше 300 и меньше 350, то 0 b 4 . Сумма цифр числа A обозначается как S(A) = 3 + b + c . По условию она должна делиться на 7. Заметим, что если при прибавлении 2 к числу A не происходит переноса в разряд десятков (то есть c 7 ), то сумма цифр увеличится на 2: S(A + 2) = S(A) + 2 . В этом случае обе суммы не могут одновременно делиться на 7, так как их разность равна 2 (а не кратна 7). Следовательно, при прибавлении 2 должен произойти перенос в следующий разряд. Это возможно, если c = 8 или c = 9 . 1. Рассмотрим случай c = 8 : Тогда A = 3b8 , S(A) = 3 + b + 8 = 11 + b . Число A + 2 = 3(b + 1)0 , тогда S(A + 2) = 3 + (b + 1) + 0 = 4 + b . Разность сумм цифр: S(A) - S(A + 2) = (11 + b) - (4 + b) = 7. Так как разность кратна 7, то если одна сумма делится на 7, то и вторая будет делиться на 7. Найдём такое b из диапазона 0 b 4 , чтобы 11 + b делилось на 7. Это выполняется при b = 3 . Число A = 338 . Проверка: S(338) = 3 + 3 + 8 = 14 (делится на 7), S(338 + 2) = S(340) = 3 + 4 + 0 = 7 (делится на 7), 300 < 338 < 350 . 2. Рассмотрим случай c = 9 : Тогда A = 3b9 , S(A) = 3 + b + 9 = 12 + b . Число A + 2 = 3(b + 1)1 , тогда S(A + 2) = 3 + (b + 1) + 1 = 5 + b . Разность сумм цифр: S(A) - S(A + 2) = (12 + b) - (5 + b) = 7. Найдём такое b из диапазона 0 b 4 , чтобы 12 + b делилось на 7. Это выполняется при b = 2 . Число A = 329 . Проверка: S(329) = 3 + 2 + 9 = 14 (делится на 7), S(329 + 2) = S(331) = 3 + 3 + 1 = 7 (делится на 7), 300 < 329 < 350 . Оба числа 329 и 338 удовлетворяют условиям задачи. Ответ: 329

329