Задача №14075

Найдите трёхзначное число $A\text{,}$ обладающее тремя свойствами:

• сумма цифр числа $A$ делится на 7;
• сумма цифр числа $A+2$ делится на 7;
• число $A$ больше 300 и меньше 350.

В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Пусть искомое трёхзначное число — $A=\overline{3bc}\text{,}$ где $b$ — цифра десятков, $c$ — цифра единиц. Так как число больше 300 и меньше 350, то $0⩽b⩽4\text{.}$

Сумма цифр числа $A$ обозначается как $S(A)=3+b+c\text{.}$ По условию она должна делиться на 7.

Заметим, что если при прибавлении 2 к числу $A$ не происходит переноса в разряд десятков (то есть $c⩽7$), то сумма цифр увеличится на 2: $S(A+2)=S(A)+2\text{.}$ В этом случае обе суммы не могут одновременно делиться на 7, так как их разность равна 2 (а не кратна 7).

Следовательно, при прибавлении 2 должен произойти перенос в следующий разряд. Это возможно, если $c=8$ или $c=9\text{.}$

1. Рассмотрим случай $c=8\text{:}$
Тогда $A=\overline{3b8}\text{,}$ $S(A)=3+b+8=11+b\text{.}$
Число $A+2=\overline{3(b+1)0}\text{,}$ тогда $S(A+2)=3+(b+1)+0=4+b\text{.}$
Разность сумм цифр:

$$S(A)-S(A+2)=(11+b)-(4+b)=7.$$

Так как разность кратна 7, то если одна сумма делится на 7, то и вторая будет делиться на 7.
Найдём такое $b$ из диапазона $0⩽b⩽4\text{,}$ чтобы $11+b$ делилось на 7. Это выполняется при $b=3\text{.}$
Число $A=338\text{.}$
Проверка: $S(338)=3+3+8=14$ (делится на 7), $S(338+2)=S(340)=3+4+0=7$ (делится на 7), $300<338<350\text{.}$

2. Рассмотрим случай $c=9\text{:}$
Тогда $A=\overline{3b9}\text{,}$ $S(A)=3+b+9=12+b\text{.}$
Число $A+2=\overline{3(b+1)1}\text{,}$ тогда $S(A+2)=3+(b+1)+1=5+b\text{.}$
Разность сумм цифр:

$$S(A)-S(A+2)=(12+b)-(5+b)=7.$$

Найдём такое $b$ из диапазона $0⩽b⩽4\text{,}$ чтобы $12+b$ делилось на 7. Это выполняется при $b=2\text{.}$
Число $A=329\text{.}$
Проверка: $S(329)=3+2+9=14$ (делится на 7), $S(329+2)=S(331)=3+3+1=7$ (делится на 7), $300<329<350\text{.}$

Оба числа 329 и 338 удовлетворяют условиям задачи.

Ответ: 329