Задача №14073

Найдите трёхзначное число, кратное 40, все цифры которого различны, а сумма квадратов цифр делится на 5, но не делится на 25. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Пусть искомое трёхзначное число имеет вид $\overline{abc}\text{.}$ По условию оно должно быть кратно 40. Это означает, что число делится на 10 и на 4 одновременно. Следовательно, последняя цифра $c=0\text{,}$ а число, образованное первыми двумя цифрами ($\overline{ab}$), должно делиться на 4.

Выпишем все трёхзначные числа, кратные 40, у которых все цифры различны:
120, 160, 240, 280, 320, 360, 480, 520, 560, 640, 680, 720, 760, 840, 920, 960.

Для каждого из этих чисел вычислим сумму квадратов его цифр $S$ и проверим, делится ли она на 5, но не делится на 25:

1. Число 120: $S=1^2+2^2=5\text{.}$ Число 5 делится на 5 и не делится на 25. Условие выполняется.

2. Число 160: $S=1^2+6^2=37\text{.}$ Число 37 не делится на 5.

3. Число 240: $S=2^2+4^2=4+16=20\text{.}$ Число 20 делится на 5 и не делится на 25. Условие выполняется.

4. Число 360: $S=3^2+6^2=9+36=45\text{.}$ Число 45 делится на 5 и не делится на 25. Условие выполняется.

5. Число 680: $S=6^2+8^2=36+64=100\text{.}$ Число 100 делится на 5, но также делится на 25. Условие не выполняется.

Таким образом, подходящими числами являются 120, 240, 360, 480, 760, 840, 920.

Ответ: 120