Задача №14072

Найдите четырёхзначное натуральное число, кратное $15\text{,}$ произведение цифр которого равно $60\text{.}$ В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Пусть искомое четырёхзначное число имеет вид $\overline{abcd}\text{.}$ По условию оно кратно $15\text{,}$ что означает одновременную делимость на $3$ и на $5\text{.}$

Из признака делимости на $5$ следует, что последняя цифра $d$ может быть равна $0$ или $5\text{.}$ Однако произведение цифр равно $60\text{,}$ значит, ни одна из цифр не является нулём. Следовательно, $d=5\text{.}$

Зная произведение всех цифр, находим произведение первых трёх:

Выпишем возможные наборы из трёх цифр, произведение которых равно $12\text{,}$ и проверим сумму цифр итогового числа (она должна быть кратна $3$):

1. Набор $\{1;2;6\}\text{:}$ сумма цифр $1+2+6+5=14$ (не делится на $3$).
2. Набор $\{1;3;4\}\text{:}$ сумма цифр $1+3+4+5=13$ (не делится на $3$).
3. Набор $\{2;2;3\}\text{:}$ сумма цифр $2+2+3+5=12$ (делится на $3$).

Таким образом, искомое число состоит из цифр $2\text{,}$ $2\text{,}$ $3$ и $5\text{.}$ Поскольку число должно заканчиваться на $5\text{,}$ составим возможные варианты: $2235\text{,}$ $2325\text{,}$ $3225\text{.}$ Любое из этих чисел удовлетворяет всем условиям задачи.

Ответ: 2235