Задача №14069

Найдите трёхзначное число, кратное $40\text{,}$ все цифры которого различны, а сумма квадратов цифр делится на $4\text{,}$ но не делится на $16\text{.}$ В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Обозначим искомое трёхзначное число как $\overline{abc}\text{,}$ где $a,b,c$ — его цифры. По условию все цифры различны, значит, $a\ne b\text{,}$ $b\ne c\text{,}$ $a\ne c\text{.}$

1. Число кратно $40\text{.}$ Это означает, что число делится на $10$ и на $4\text{.}$ Из делимости на $10$ следует, что последняя цифра $c=0\text{.}$

2. Поскольку число кратно $40\text{,}$ то $100a+10b+c$ делится на $40\text{.}$ Подставив $c=0$ и разделив на $10\text{,}$ получаем, что число $\overline{ab}=10a+b$ должно делиться на $4\text{.}$ Так как цифры различны и $c=0\text{,}$ то ни $a\text{,}$ ни $b$ не могут быть равны $0\text{.}$ Также $a\ne 0\text{,}$ так как число трёхзначное.

3. Сумма квадратов цифр равна:

По условию $S$ должна делиться на $4\text{.}$ Квадрат целого числа при делении на $4$ даёт в остатке $0$ (если число чётное) или $1$ (если число нечётное). Чтобы сумма $a^2+b^2$ делилась на $4\text{,}$ необходимо, чтобы остатки обоих слагаемых были равны $0\text{.}$ Значит, цифры $a$ и $b$ должны быть чётными.

4. Рассмотрим возможные чётные ненулевые цифры для $a$ и $b\text{:}$ $2,4,6,8\text{.}$ Проверим пары $(a;b)\text{,}$ при которых число $10a+b$ делится на $4\text{:}$

• Если $a=2\text{,}$ то $b\in \{4;8\}$ (числа $24$ и $28$);
• Если $a=4\text{,}$ то $b=8$ (число $48\text{,}$ так как $a\ne b$);
• Если $a=6\text{,}$ то $b\in \{4;8\}$ (числа $64$ и $68$);
• Если $a=8\text{,}$ то $b=4$ (число $84$).

5. Теперь проверим условие: сумма квадратов $a^2+b^2$ не должна делиться на $16\text{.}$

• Для числа $240\text{:}$ $2^2+4^2=4+16=20\text{.}$ Число $20$ делится на $4\text{,}$ но не делится на $16\text{.}$ Подходит.
• Для числа $280\text{:}$ $2^2+8^2=4+64=68\text{.}$ Число $68$ делится на $4\text{,}$ но не делится на $16\text{.}$ Подходит.
• Для числа $480\text{:}$ $4^2+8^2=16+64=80\text{.}$ Число $80$ делится на $16\text{.}$ Не подходит.
• Для числа $640\text{:}$ $6^2+4^2=36+16=52\text{.}$ Число $52$ делится на $4\text{,}$ но не делится на $16\text{.}$ Подходит.
• Для числа $680\text{:}$ $6^2+8^2=36+64=100\text{.}$ Число $100$ делится на $4\text{,}$ но не делится на $16\text{.}$ Подходит.
• Для числа $840\text{:}$ $8^2+4^2=64+16=80\text{.}$ Число $80$ делится на $16\text{.}$ Не подходит.

В качестве ответа можно указать любое из подходящих чисел: $240\text{,}$ $280\text{,}$ $640$ или $680\text{.}$

Ответ: 240