Найдите трёхзначное число, кратное 40 , все цифры которого различны, а сумма квадратов цифр делится на 4 , но не делится на 16 . В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Обозначим искомое трёхзначное число как abc , где a, b, c — его цифры. По условию все цифры различны, значит, a != b , b != c , a != c . 1. Число кратно 40 . Это означает, что число делится на 10 и на 4 . Из делимости на 10 следует, что последняя цифра c = 0 . 2. Поскольку число кратно 40 , то 100a + 10b + c делится на 40 . Подставив c = 0 и разделив на 10 , получаем, что число ab = 10a + b должно делиться на 4 . Так как цифры различны и c = 0 , то ни a , ни b не могут быть равны 0 . Также a != 0 , так как число трёхзначное. 3. Сумма квадратов цифр равна: S = a^2 + b^2 + c^2 = a^2 + b^2 + 0^2 = a^2 + b^2. По условию S должна делиться на 4 . Квадрат целого числа при делении на 4 даёт в остатке 0 (если число чётное) или 1 (если число нечётное). Чтобы сумма a^2 + b^2 делилась на 4 , необходимо, чтобы остатки обоих слагаемых были равны 0 . Значит, цифры a и b должны быть чётными. 4. Рассмотрим возможные чётные ненулевые цифры для a и b : 2, 4, 6, 8 . Проверим пары (a; b) , при которых число 10a + b делится на 4 : - Если a = 2 , то b in 4; 8 (числа 24 и 28 ); - Если a = 4 , то b = 8 (число 48 , так как a != b ); - Если a = 6 , то b in 4; 8 (числа 64 и 68 ); - Если a = 8 , то b = 4 (число 84 ). 5. Теперь проверим условие: сумма квадратов a^2 + b^2 не должна делиться на 16 . - Для числа 240 : 2^2 + 4^2 = 4 + 16 = 20 . Число 20 делится на 4 , но не делится на 16 . Подходит. - Для числа 280 : 2^2 + 8^2 = 4 + 64 = 68 . Число 68 делится на 4 , но не делится на 16 . Подходит. - Для числа 480 : 4^2 + 8^2 = 16 + 64 = 80 . Число 80 делится на 16 . Не подходит. - Для числа 640 : 6^2 + 4^2 = 36 + 16 = 52 . Число 52 делится на 4 , но не делится на 16 . Подходит. - Для числа 680 : 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 . Число 100 делится на 4 , но не делится на 16 . Подходит. - Для числа 840 : 8^2 + 4^2 = 64 + 16 = 80 . Число 80 делится на 16 . Не подходит. В качестве ответа можно указать любое из подходящих чисел: 240 , 280 , 640 или 680 . Ответ: 240

240