Задача №14066

Найдите четырёхзначное число, кратное $18\text{,}$ произведение цифр которого больше $18\text{,}$ но меньше $30\text{.}$ В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Пусть искомое четырёхзначное число равно $\overline{abcd}\text{.}$

По условию число кратно $18\text{,}$ что означает одновременную делимость на $2$ и на $9\text{:}$

1. Признак делимости на $2\text{:}$ число должно быть чётным, то есть последняя цифра $d$ — это $0\text{,}$ $2\text{,}$ $4\text{,}$ $6$ или $8\text{.}$
2. Признак делимости на $9\text{:}$ сумма цифр $a+b+c+d$ должна делиться на $9\text{.}$

Также по условию произведение цифр $P=a\cdot b\cdot c\cdot d$ должно удовлетворять неравенству $18<P<30\text{.}$ Заметим, что так как произведение не равно нулю, ни одна из цифр не может быть нулём.

Рассмотрим возможные произведения $P$ и подберём наборы цифр, сумма которых кратна $9\text{:}$

• Если $P=20\text{,}$ возможные наборы цифр: $\{1;1;4;5\}$ (сумма $11$) и $\{1;2;2;5\}$ (сумма $10$). Суммы не делятся на $9\text{.}$
• Если $P=21\text{,}$ возможен набор $\{1;1;3;7\}$ (сумма $12$). Не делится на $9\text{.}$
• Если $P=24\text{,}$ возможные наборы: $\{1;1;3;8\}$ (сумма $13$), $\{1;1;4;6\}$ (сумма $12$), $\{1;2;2;6\}$ (сумма $11$), $\{1;2;3;4\}$ (сумма $10$), $\{2;2;2;3\}$ (сумма $9$).

Набор цифр $\{2;2;2;3\}$ имеет сумму цифр $9\text{,}$ что удовлетворяет условию делимости на $9\text{.}$

• Если $P=25\text{,}$ набор $\{1;1;5;5\}$ (сумма $12$). Не делится на $9\text{.}$
• Если $P=27\text{,}$ наборы $\{1;1;3;9\}$ (сумма $14$) и $\{1;3;3;3\}$ (сумма $10$). Не делятся на $9\text{.}$
• Если $P=28\text{,}$ наборы $\{1;1;4;7\}$ (сумма $13$) и $\{1;2;2;7\}$ (сумма $12$). Не делятся на $9\text{.}$

Итак, подходит набор цифр $\{2;2;2;3\}\text{.}$ Чтобы число было чётным, оно должно оканчиваться на цифру $2\text{.}$

Возможные числа: $2232\text{,}$ $2322\text{,}$ $3222\text{.}$

Проверим число $2232\text{:}$

• Оно четырёхзначное;
• Оно чётное и сумма его цифр $2+2+3+2=9$ делится на $9\text{,}$ значит, число делится на $18\text{:}$
  $2232:18=124\text{;}$
• Произведение цифр $2\cdot 2\cdot 3\cdot 2=24\text{,}$ что больше $18$ и меньше $30\text{.}$

Все условия выполнены.

Ответ: $2232$