Задача №14065

Найдите четырёхзначное натуральное число, большее $3200\text{,}$ но меньшее $3500\text{,}$ которое делится на каждую свою цифру и все цифры которого различны. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Пусть искомое четырёхзначное число имеет вид $n=\overline{abcd}\text{.}$ По условию оно должно удовлетворять ряду требований:

1. $3200<n<3500\text{.}$ Это означает, что первая цифра $a=3\text{.}$ Вторая цифра $b$ может быть равна 2 или 4 (так как все цифры различны, $b\ne 3$).

2. Число должно делиться на каждую свою цифру. Это подразумевает, что ни одна из цифр не может быть равна 0.

3. Так как число делится на 3, сумма его цифр $3+b+c+d$ должна быть кратна 3.

Рассмотрим случай, когда $b=2\text{.}$ Тогда число имеет вид $\overline{32cd}\text{.}$ Оно должно быть чётным, так как делится на свою вторую цифру 2. Значит, цифра $d$ может быть чётной: 4, 6 или 8.

Попробуем вариант $d=6\text{.}$ Тогда сумма цифр равна $3+2+c+6=11+c\text{.}$ Для того чтобы она делилась на 3, цифра $c$ может принимать значения 1, 4 или 7.

Если $c=1\text{,}$ то число равно $3216\text{.}$

Проверим число $3216\text{:}$

• все цифры (3, 2, 1, 6) различны и не равны нулю;
• число находится в диапазоне от $3200$ до $3500\text{;}$
• делится на 3: $3216:3=1072\text{;}$
• делится на 2: $3216:2=1608\text{;}$
• делится на 1: $3216:1=3216\text{;}$
• делится на 6: $3216:6=536\text{.}$

Все условия выполнены. В качестве ответа также могли подойти числа $3264$ или $3276\text{.}$

Ответ: $3216$