Задача №14061

Вычеркните в числе $14563743$ три цифры так, чтобы получившееся число делилось на $22\text{.}$ В ответе укажите какое-нибудь одно получившееся число.

Число делится на $22$ тогда и только тогда, когда оно делится на $2$ и на $11$ одновременно.

1. Признак делимости на $2\text{:}$ число должно быть чётным, то есть его последняя цифра должна быть чётной. В исходном числе $14563743$ последняя цифра — $3\text{.}$ Чтобы итоговое число было чётным, цифру $3$ на конце необходимо вычеркнуть. Тогда число будет заканчиваться на $4\text{.}$

2. Признак делимости на $11\text{:}$ разность между суммой цифр, стоящих на нечётных местах, и суммой цифр, стоящих на чётных местах, должна делиться на $11$ (равняться $0\text{,}$ $11\text{,}$ $-11$ и т. д.).

После вычёркивания последней цифры осталось число $1456374\text{.}$ Нам нужно вычеркнуть ещё две цифры, чтобы осталось пятизначное число (так как всего нужно вычеркнуть три цифры из восьми).

Рассмотрим число $14564\text{.}$ Оно получается из исходного $14563743$ путём вычёркивания пятой цифры ($3$), шестой цифры ($7$) и восьмой цифры ($3$).

Проверим его на делимость:

• число $14564$ заканчивается на $4\text{,}$ значит, оно делится на $2\text{;}$
• сумма цифр на нечётных местах: $1+5+4=10\text{;}$
• сумма цифр на чётных местах: $4+6=10\text{;}$
• разность сумм: $10-10=0\text{.}$

Так как $0$ делится на $11\text{,}$ то и число $14564$ делится на $11\text{.}$

Так как число делится и на $2\text{,}$ и на $11\text{,}$ оно делится на $22\text{.}$

Другим возможным вариантом является число $14674$ (вычеркнуты цифры $5\text{,}$ $3$ и $3$).

Ответ: $14564$