Задача №14060

Найдите трёхзначное число $A\text{,}$ обладающее двумя свойствами:

• сумма цифр числа $A$ делится на 11;
• сумма цифр числа $A+7$ делится на 11.

В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Пусть искомое трёхзначное число имеет вид $A=\overline{abc}\text{,}$ где $a,b,c$ — его цифры. Сумма цифр числа равна $S(A)=a+b+c\text{.}$

По условию $S(A)$ делится на 11. Для трёхзначного числа максимальная сумма цифр составляет $9+9+9=27\text{,}$ поэтому возможные значения для $S(A)$ — это 11 или 22.

При сложении числа $A$ с числом 7 сумма цифр меняется следующим образом: $S(A+7)=S(A)+7-9k\text{,}$ где $k$ — количество переносов разряда при сложении. Чтобы $S(A+7)$ также делилось на 11, разность между суммами цифр должна быть кратна 11:

$$S(A)-S(A+7)=9k-7$$

Проверим различные значения $k\text{:}$

1. Если $k=1\text{,}$ разность равна $9\cdot 1-7=2$ (не делится на 11).
2. Если $k=2\text{,}$ разность равна $9\cdot 2-7=11$ (делится на 11). Этот случай нам подходит.

Два переноса ($k=2$) происходят при сложении с 7, если:

• происходит перенос из разряда единиц в разряд десятков: $c+7⩾10\Rightarrow c\in \{3;4;5;6;7;8;9\}\text{;}$
• происходит перенос из разряда десятков в разряд сотен: так как мы прибавляем только 7 (единицы), перенос в сотни возможен только если в разряде десятков уже стоит цифра 9.

Таким образом, число имеет вид $\overline{a9c}\text{.}$ Тогда его сумма цифр:
$S(A)=a+9+c\text{.}$

Чтобы избежать третьего переноса (в разряд тысяч), первая цифра должна быть $a⩽8\text{.}$

Пусть $S(A)=22\text{.}$ Тогда:
$a+9+c=22\Rightarrow a+c=13\text{.}$

Подберём подходящие цифры с учётом условий $a⩽8$ и $c⩾3\text{:}$

• если $a=4\text{,}$ то $c=9\text{,}$ получаем число 499;
• если $a=5\text{,}$ то $c=8\text{,}$ получаем число 598;
• если $a=6\text{,}$ то $c=7\text{,}$ получаем число 697;
• если $a=7\text{,}$ то $c=6\text{,}$ получаем число 796;
• если $a=8\text{,}$ то $c=5\text{,}$ получаем число 895.

Проверим число 499:
1. Сумма цифр: $4+9+9=22$ (делится на 11).
2. $499+7=506\text{.}$ Сумма цифр: $5+0+6=11$ (делится на 11).

Оба условия выполняются.

Ответ: 499