Найдите трёхзначное число A , обладающее двумя свойствами: - сумма цифр числа A делится на 11; - сумма цифр числа A + 7 делится на 11. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Пусть искомое трёхзначное число имеет вид A = abc , где a, b, c — его цифры. Сумма цифр числа равна S(A) = a + b + c . По условию S(A) делится на 11. Для трёхзначного числа максимальная сумма цифр составляет 9 + 9 + 9 = 27 , поэтому возможные значения для S(A) — это 11 или 22. При сложении числа A с числом 7 сумма цифр меняется следующим образом: S(A + 7) = S(A) + 7 - 9k , где k — количество переносов разряда при сложении. Чтобы S(A + 7) также делилось на 11, разность между суммами цифр должна быть кратна 11: S(A) - S(A + 7) = 9k - 7 Проверим различные значения k : 1. Если k = 1 , разность равна 9 * 1 - 7 = 2 (не делится на 11). 2. Если k = 2 , разность равна 9 * 2 - 7 = 11 (делится на 11). Этот случай нам подходит. Два переноса ( k = 2 ) происходят при сложении с 7, если: - происходит перенос из разряда единиц в разряд десятков: c + 7 10 => c in 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 ; - происходит перенос из разряда десятков в разряд сотен: так как мы прибавляем только 7 (единицы), перенос в сотни возможен только если в разряде десятков уже стоит цифра 9. Таким образом, число имеет вид a9c . Тогда его сумма цифр: S(A) = a + 9 + c . Чтобы избежать третьего переноса (в разряд тысяч), первая цифра должна быть a 8 . Пусть S(A) = 22 . Тогда: a + 9 + c = 22 => a + c = 13 . Подберём подходящие цифры с учётом условий a 8 и c 3 : - если a = 4 , то c = 9 , получаем число 499; - если a = 5 , то c = 8 , получаем число 598; - если a = 6 , то c = 7 , получаем число 697; - если a = 7 , то c = 6 , получаем число 796; - если a = 8 , то c = 5 , получаем число 895. Проверим число 499: 1. Сумма цифр: 4 + 9 + 9 = 22 (делится на 11). 2. 499 + 7 = 506 . Сумма цифр: 5 + 0 + 6 = 11 (делится на 11). Оба условия выполняются. Ответ: 499

499