Задача №14059

Найдите четырёхзначное натуральное число, кратное $11\text{,}$ сумма цифр которого на $1$ меньше их произведения. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Пусть искомое четырёхзначное число равно $\overline{abcd}\text{.}$ По условию задачи должны выполняться два условия:

1. Число кратно $11\text{.}$ Согласно признаку делимости на $11\text{,}$ знакочередующаяся сумма цифр $(a+c)-(b+d)$ должна делиться на $11$ (быть равной $0\text{;}$ $11$ или $-11$).
2. Произведение цифр на $1$ больше их суммы:

Заметим, что ни одна из цифр не может быть равна $0\text{,}$ так как в этом случае произведение цифр было бы равно $0\text{,}$ а сумма цифр должна была бы равняться $-1\text{,}$ что невозможно. Следовательно, все цифры принадлежат множеству $\{1;2;\dots ;9\}\text{.}$

Рассмотрим случай, когда среди цифр есть единицы. Если две цифры равны $1$ (например, $a=1,b=1$), то уравнение для произведения примет вид:

Возможные натуральные решения для этого уравнения:

1. $c-1=1,d-1=4\Rightarrow c=2,d=5\text{.}$ Набор цифр: $\{1;1;2;5\}\text{.}$ Сумма цифр равна $9\text{.}$ Для делимости на $11$ нужно, чтобы $a+c=b+d\text{,}$ что невозможно для нечётной суммы ($9$).
2. $c-1=2,d-1=2\Rightarrow c=3,d=3\text{.}$ Набор цифр: $\{1;1;3;3\}\text{.}$ Сумма цифр равна $8\text{.}$ Разделим их на две группы с равной суммой: $1+3=4$ и $1+3=4\text{.}$ Тогда $(a+c)-(b+d)=4-4=0\text{,}$ что удовлетворяет признаку делимости на $11\text{.}$

Составим число из цифр $1,1,3,3$ так, чтобы на нечётных позициях стояли $1$ и $3\text{,}$ и на чётных — $1$ и $3\text{.}$ Например, число $1133\text{.}$

Проверка для числа $1133\text{:}$

• Кратность $11\text{:}$ $1133:11=103$ (верно).
• Сумма цифр: $1+1+3+3=8\text{.}$
• Произведение цифр: $1\cdot 1\cdot 3\cdot 3=9\text{.}$
• Условие: произведение ($9$) на $1$ больше суммы ($8$). Условие выполнено.

Ответ: 1133