Задача №14058

Найдите четырёхзначное натуральное число, большее $3500\text{,}$ но меньшее $3850\text{,}$ которое делится на каждую свою цифру и все цифры которого различны.
В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Обозначим искомое четырёхзначное число как $N=\overline{abcd}\text{.}$

По условию число должно делиться на каждую свою цифру. Это означает, что в записи числа не может быть цифры $0\text{,}$ так как деление на $0$ не определено.

Число находится в диапазоне $3500<N<3850\text{.}$ Следовательно, первая цифра $a=3\text{.}$ Вторая цифра $b$ может принимать значения $5;6;7;8\text{.}$

Рассмотрим возможные значения для $b\text{:}$

1. Если $b=5\text{,}$ то число должно делиться на $5\text{,}$ то есть оканчиваться на $0$ или $5\text{.}$ Но $0$ использовать нельзя, а цифра $5$ уже использована (все цифры должны быть различны). Значит, $b\ne 5\text{.}$

2. Пусть $b=6\text{.}$ Тогда число имеет вид $\overline{36cd}\text{.}$ Оно должно делиться на $3$ и на $6\text{.}$ Делимость на $6$ подразумевает делимость на $2$ (число чётное, $d\in \{2;4;8\}$) и на $3$ (сумма цифр $3+6+c+d$ делится на $3\text{,}$ что равносильно тому, что $c+d$ делится на $3$).

• Попробуем $d=2\text{.}$ Тогда $c+2$ делится на $3\text{.}$ Возможные значения $c\text{:}$ $1;4;7\text{.}$
• Если $c=1\text{,}$ число равно $3612\text{.}$ Проверим его:
  1. все цифры различны: $3;6;1;2\text{;}$
  2. $3612$ делится на $3\text{:}$ $3612:3=1204\text{;}$
  3. $3612$ делится на $6\text{:}$ $3612:6=602\text{;}$
  4. $3612$ делится на $1\text{:}$ $3612:1=3612\text{;}$
  5. $3612$ делится на $2\text{:}$ $3612:2=1806\text{;}$
  6. диапазон: $3500<3612<3850$ — верно.

Таким образом, число $3612$ подходит. Аналогично можно найти и другие подходящие числа, например, $3624\text{,}$ $3648$ или $3816\text{.}$

Ответ: 3612