Задача №14054

Найдите четырёхзначное число, большее $4000\text{,}$ но меньшее $6500\text{,}$ которое делится на $60$ и каждая следующая цифра которого меньше предыдущей. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Пусть искомое четырёхзначное число имеет вид $N=\overline{abcd}\text{.}$

Согласно условию:
1. Число находится в диапазоне $4000<N<6500\text{.}$ Это означает, что первая цифра $a$ может принимать значения $4\text{,}$ $5$ или $6\text{.}$
2. Каждая следующая цифра меньше предыдущей: $a>b>c>d\text{.}$
3. Число делится на $60\text{.}$ Число делится на $60$ тогда и только тогда, когда оно одновременно делится на $3\text{,}$ $4$ и $5\text{.}$

Разберём условия делимости:

• Делимость на $5\text{:}$ последняя цифра $d$ должна быть $0$ или $5\text{.}$ Однако, если $d=5\text{,}$ то из условия убывания цифр следует, что остальные цифры должны быть больше $5\text{:}$ $c>5\text{,}$ $b>6\text{,}$ $a>7\text{.}$ Это противоречит тому, что $a\in \{4;5;6\}\text{.}$ Значит, $d=0\text{.}$
• Делимость на $4\text{:}$ число, образованное последними двумя цифрами ($\overline{cd}$), должно делиться на $4\text{.}$ Так как $d=0\text{,}$ то $c$ должно быть чётным числом. Учитывая, что $c>d\text{,}$ возможные значения для $c\text{:}$ $2\text{,}$ $4\text{,}$ $6\text{,}$ $8\text{.}$
• Делимость на $3\text{:}$ сумма цифр $a+b+c+d$ должна делиться на $3\text{.}$

Проверим возможные варианты для первой цифры $a\text{:}$

1. Если $a=4\text{:}$
Условие убывания: $4>b>c>0\text{.}$
Поскольку $c$ — чётное и $c<4\text{,}$ единственное возможное значение $c=2\text{.}$
Тогда $4>b>2\text{,}$ откуда $b=3\text{.}$
Проверим сумму цифр:

Число $9$ делится на $3\text{.}$ Получаем число $4320\text{.}$

2. Если $a=5\text{:}$
Условие убывания: $5>b>c>0\text{.}$
Если $c=2\text{,}$ то $b$ может быть равно $3$ или $4\text{.}$

• Сумма цифр для $5320\text{:}$ $5+3+2+0=10$ (не делится на $3$).
• Сумма цифр для $5420\text{:}$ $5+4+2+0=11$ (не делится на $3$).
  Если $c=4\text{,}$ то для $b$ нет целых значений между $4$ и $5\text{.}$

3. Если $a=6\text{:}$
Условие убывания: $6>b>c>0\text{.}$ Поскольку $N<6500\text{,}$ цифра $b$ должна быть меньше $5$ (то есть $b⩽4$).
Если $c=2\text{,}$ то $b$ может быть $3$ или $4\text{.}$

• Сумма цифр для $6320\text{:}$ $6+3+2+0=11$ (не делится на $3$).
• Сумма цифр для $6420\text{:}$ $6+4+2+0=12$ (делится на $3$). Число $6420$ подходит.

Таким образом, подходят числа $4320$ и $6420\text{.}$

Ответ: 4320